Astronomie

Déterminer la distance à la Lune après la parallaxe diurne ?

Déterminer la distance à la Lune après la parallaxe diurne ?

Donc, je veux trouver la distance à la Lune/à n'importe quel corps après avoir effectué la correction de la parallaxe diurne. Malheureusement, les ressources dont je dispose ne couvrent pas comment faire cela. Existe-t-il un algorithme simple pour ajuster la distance à un objet après être passé aux coordonnées topocentriques, en supposant une Terre ellipsoïdale ?


Parallaxe lunaire

La parallaxe est le décalage apparent causé par la visualisation d'un objet depuis deux points de vue différents. Vous pouvez le voir facilement en clignant alternativement votre œil gauche et votre œil droit. La parallaxe est également évidente dans la position apparente de la Lune vue de deux points distants sur la Terre, ou du même point à six heures d'intervalle. Hipparque, au IIe siècle avant JC, a obtenu une très bonne estimation de la distance à la Lune en utilisant la parallaxe lunaire.

La photo lunaire LPOD du jour du 26 mai 2007 montre le changement parallactique de la position de la Lune vu de deux endroits distants d'environ 1400 miles. Les astronomes amateurs Anthony Ayiomamitis et Pete Lawrence (lien vers la page originale de Pete de l'Internet Archive) ont pris des photos de la Lune depuis la Grèce et l'Angleterre au même moment dans l'après-midi du 23 mai. Ils ont combiné les photos de sorte que les images de la Lune se chevauchent, révélant un décalage apparent d'environ un tiers de degré de la position de la Lune par rapport à Regulus, une étoile brillante de la constellation du Lion.

J'ai ajouté mes deux cents à la discussion de cette image sur sci.astro.amateur, offrant une estimation raffinée de la distance de la Lune. Ici, j'expose plusieurs rendus LightWave montrant la géométrie de l'image. Ceux-ci utilisent mon traceur d'étoiles ainsi qu'un court programme que j'ai écrit spécifiquement pour analyser l'image Lune/Regulus, qui m'a donné les positions et les orientations de la Terre et de la Lune, l'angle de la lumière solaire et les lignes de visée vers la Lune depuis Selsey et Athènes.

Selsey et Athènes sont en plein soleil car les photos ont été prises pendant la journée, près du moment d'une occultation lunaire de Regulus (en fait un quasi-accident dans ces deux endroits).

La plupart des diagrammes de parallaxe lunaire (y compris celui plus bas sur cette page) sont totalement hors échelle. Cela est nécessaire pour rendre les angles visibles, mais je pense que l'iconographie de diagrammes comme ceux-ci a enraciné chez les gens un sens déformé de l'échelle du système solaire. Les rendus ci-dessous et le long de la marge de gauche montrent la véritable échelle du système Terre-Lune.

Les deux images ci-dessous simulent la vue de la Lune depuis Selsey (à gauche) et Athènes. Essayez-les en paire stéréo : croisez vos yeux jusqu'à ce que les deux Lunes se chevauchent. Si vous avez le talent pour cela, les deux Lunes sembleront fusionner en une seule image 3D.


Selsey, Royaume-Uni


Athènes, Grèce

Avec un peu de géométrie, la parallaxe de ces vues peut être utilisée pour estimer la distance à la Lune.

Selsey, Athènes et la Lune (S, A et M sur le diagramme) forment un triangle long et mince. L'angle en M est la parallaxe, la séparation angulaire des deux images de Regulus, environ 1100 secondes d'arc. Nous connaissons également la longueur du côté AS, qui est juste la distance de corde entre Athènes et Selsey, environ 2360 kilomètres.

Si nous faisons l'hypothèse simplificatrice que le triangle ASM est isocèle (que SM et AM ont la même longueur), alors la distance à la Lune est juste

Le branchement de 2360 kilomètres et 1100 secondes d'arc nous donne une estimation de la distance lunaire trop grande d'environ 13%. Nous pouvons faire beaucoup mieux en trouvant la longueur de la ligne AC et en l'utilisant au lieu de AS dans la formule. Une façon d'estimer la longueur d'AC, en pensant comme un infographiste, consiste à créer des vecteurs de direction unitaires pour AS et AM. Le produit scalaire de ces deux vecteurs est le cosinus de l'angle en A. Le sinus de cet angle est le raccourci de AS dans la direction de M, ou la longueur de la projection de AS sur le plan image, et c'est la longueur d'AC, ou assez près.

Une approche connexe consiste à utiliser l'angle en A (ou S), la longueur de AS et la parallaxe (l'angle en M) pour résoudre directement le triangle scalène.

durée de la SEP = ( longueur de l'AS ) péché( angle en A ) / péché parallaxe
durée du MA = ( longueur de l'AS ) péché( angle au S ) / péché parallaxe

Dans tous les cas, nous arrivons à un cil de la distance réelle de la Lune par rapport aux sites d'observation. Mais utiliser 2 360 kilomètres et 1 100 secondes d'arc nous donne une valeur trop petite d'environ 4 %. Que s'est-il passé?

Eh bien, à ce stade, nous pouvons tricher : la vraie parallaxe est plutôt de 1056 secondes d'arc, une différence qui équivaut à environ 15 pixels sur l'image composite créée par Anthony. L'explication la plus simple de l'écart est que Pete et Anthony n'ont pas pris leurs photos exactement au même moment. Une différence d'une minute et demie suffirait, puisque la Lune se déplace de sa propre largeur (un demi-degré) toutes les heures. Une autre possibilité est qu'ils étaient plus éloignés que je ne l'avais supposé, mais la distance supplémentaire devrait être d'environ une centaine de kilomètres pour tenir compte de l'écart total.

Les méthodes des premiers astronomes grecs ont une saveur similaire. Nous ne connaissons pas la procédure exacte d'Hipparque, mais nous savons qu'il a utilisé une estimation de la parallaxe lunaire dérivée d'une éclipse solaire. L'éclipse a été totale à l'Hellespont. A Alexandrie, la Lune couvrait les 4/5 du diamètre du Soleil. La parallaxe était donc de 1/10 de degré, et la ligne de base était la distance d'Alexandrie à l'Hellespont. Hipparque devait supposer que l'éclipse maximale se produisait en même temps dans les deux endroits et que la parallaxe du Soleil était imperceptiblement petite, et il avait besoin d'une bonne estimation de la taille de la Terre.

Trois siècles plus tard, Ptolémée a présenté une explication détaillée de la géométrie du problème dans le livre V, section 13 de son Almageste. Il a même inclus un schéma très similaire à celui-ci. Les chiffres de Ptolémée pour la distance de la Lune sont encombrés par une théorie lunaire et des arguments à l'appui qui ne sont pas simplement faux, ils sont intellectuellement malhonnêtes, du moins selon les normes modernes. Mais si nous lui donnons le bénéfice du doute, son estimation de 59 rayons terrestres aux syzygies (nouvelle et pleine Lune) se situe confortablement au milieu de la plage de valeurs moderne pour l'orbite elliptique de la Lune, soit environ 56 à 64 e.r.

La méthode de la parallaxe n'a pu être étendue aux planètes ou aux étoiles jusqu'à l'invention du télescope. Dans les années 1990, le satellite Hipparcos l'a utilisé pour mesurer des distances allant jusqu'à mille années-lumière, soit environ 25 millions de fois la distance à la Lune. Pendant ce temps, en faisant rebondir la lumière laser sur les réflecteurs laissés à la surface de la Lune par les astronautes d'Apollo, nous pouvons mesurer régulièrement la distance à la Lune avec une précision de quelques centimètres.


Une nouvelle méthode de détermination de la parallaxe du soleil

Il est bien connu que cette distance du soleil à la terre, est supposée différente par différents astronomes. Ptolémée et ses disciples, comme aussi Copernic et Tycho Brahe, l'ont calculée à 1200 demi-diamètres de la terre, et Kepler à près de 3500 Riccioli double cette dernière distance, et Hevelius ne la fait que moitié moins. Mais enfin on découvrit, en observant au télescope, Vénus et Mercure sur le disque solaire, débarrassés de leur lumière empruntée, que les diamètres apparents des planètes étaient bien inférieurs à ce qu'ils avaient été supposés être et en particulier, que Le demi-diamètre de Vénus, vu du soleil, ne sous-tend que la quatrième partie d'une minute, ou 15 secondes et que le demi-diamètre de Mercure, à sa distance moyenne du soleil, est vu sous un angle de 10 secondes seulement, et le demi-diamètre de Saturne -diamètre sous le même angle et que le demi-diamètre de Jupiter, la plus grande de toutes les planètes, ne sous-tend pas plus d'un tiers de minute au soleil. D'où, par analogie, quelques astronomes modernes concluent que le demi-diamètre de la terre, vu du soleil, sous-tend un angle moyen, entre le plus grand de Jupiter et le plus petit de Saturne et Mercure, et égal à celui de Vénus, à savoir. une de 15 secondes et par conséquent, que la distance du soleil à la terre est de près de 14 000 demi-diamètres de cette dernière. Une autre considération a amené ces auteurs à élargir un peu plus cette distance : car comme le diamètre de la lune est un peu plus du quart du diamètre de la terre, si la parallaxe du soleil était supposée 15 secondes, le corps de la lune serait plus grand que celui de Mercure. , à savoir. une planète secondaire plus grande qu'une primaire, ce qui semble répugner aux proportions régulières et à la symétrie du système mondain. Au contraire, il ne semble guère compatible avec la même proportion, que Vénus, planète inférieure et sans satellite, soit plus grande que notre terre, planète supérieure, et accompagnée d'un satellite si remarquable. Donc, en moyenne, en supposant que le demi-diamètre de la terre, vue du soleil, ou ce qui est la même chose, la parallaxe horizontale du soleil, soit de 12 secondes et demie, la lune sera inférieure à Mercure, et la terre plus grande que Vénus, et la distance du soleil à la terre ressort à près de 16 500 demi-diamètres de la terre. J'admettrai cette distance à présent, jusqu'à ce que sa quantité précise soit rendue plus certaine par l'essai que je propose de ne pas considérer l'autorité de ceux qui placent le soleil à une distance immensément plus grande, en m'appuyant sur les observations d'un pendule vibrant, qui ne semblent pas assez précis pour déterminer au moins de tels angles minuscules, tels que l'utilisation de cette méthode trouveront la parallaxe parfois nulle, et parfois même négative c'est-à-dire que la distance deviendra soit infinie, soit plus qu'infinie, ce qui est absurde. Et il n'est guère possible à quiconque de déterminer avec certitude, au moyen d'instruments, aussi beaux soient-ils, des secondes simples, ou même 10 secondes et, par conséquent, il n'est pas du tout surprenant que l'extrême minutie de tels angles ait jusqu'ici dérouté les nombreux et tentatives ingénieuses des artistes.

Alors que je faisais mes observations dans l'île de Sainte-Hélène, il y a environ 40 ans, sur les étoiles autour du pôle sud, il m'est arrivé d'observer, avec le plus grand soin, Mercure passant au-dessus du disque solaire : et contre toute attente, je obtenu très précisément, avec un bon télescope de 24 pieds, l'instant même où Mercure, entrant dans le limbe du soleil, semblait le toucher intérieurement, ainsi que celui où il s'éloignait en formant un angle de contact intérieur. J'ai donc découvert la quantité précise de temps pendant laquelle le corps entier de Mercure était alors apparu dans le disque solaire, et que sans erreur d'une seule seconde de temps pour, le fil de lumière solaire, intercepté entre le limbe obscur de la planète, et le limbe brillant du soleil, quoique extrêmement mince, affecta ma vue, et en un clin d'œil, à la fois l'entrave faite sur le limbe du soleil par Mercure y entrant disparut, et celle faite par son départ apparut. En observant cela, j'ai immédiatement conclu que la parallaxe du soleil pourrait être dûment déterminée par de telles observations, si Mercure, étant plus près de la terre, avait une plus grande parallaxe, vu du soleil car, cette différence de parallaxes est si peu être toujours inférieure à la parallaxe du soleil, qui est recherchée par conséquent, bien que Mercure soit fréquemment vu dans le disque du soleil, il sera à peine adapté au but présent.

Il reste donc le passage de Vénus sur le disque solaire, dont la parallaxe, étant presque 4 fois supérieure à celle du soleil, provoquera des différences très sensibles entre les moments où Vénus semblera passer sur le disque solaire dans différentes parties de notre terre. A partir de ces différences, dûment observées, la parallaxe du soleil peut être déterminée, même à une petite partie de seconde du temps et cela sans autres instruments que des télescopes et de bonnes horloges communes, et sans aucune autre qualification de l'observateur que la fidélité et la diligence, avec un peu de talent en astronomie. Car nous n'avons pas besoin d'être scrupuleux pour trouver la latitude du lieu, ou pour déterminer avec précision les heures par rapport au méridien, il suffit, si les temps sont comptés par des horloges, vraiment corrigées d'après les révolutions du ciel, du total l'entrée de Vénus sur le disque solaire, jusqu'au début de sa sortie de celui-ci, lorsque son globe opaque commence à toucher le membre brillant du soleil dont les temps, comme je l'ai trouvé par expérience, peuvent être observés même à une seule seconde de temps.

Mais par les lois limitées du mouvement, Vénus est très rarement vue dans le disque solaire et pendant une série de 120 ans, et plus, ne doit pas y être vue une seule fois, à savoir. à partir de 1639, lorsque M. Horrox a été favorisé avec cette vue agréable, et il le premier et le seul depuis la création du monde, jusqu'en 1761, date à laquelle, selon les théories observées jusqu'ici dans les cieux, Vénus passera au-dessus de la soleil le 26 mai au matin de sorte que (voir Phil. Trans. N0 193) à Londres, près de 6 heures du matin, elle doit être au milieu du disque solaire, et mais 4 minutes plus au sud que son centre. La durée de ce transit sera de près de 8 heures à savoir. de 2 à près de 10 heures du matin. Par conséquent, son entrée ne sera pas visible en Angleterre : mais le soleil à ce moment-là étant au 16° des Gémeaux, et presque au 23° de la déclinaison nord, on verra qu'il ne se couche pas dans toute la zone glaciale du nord et par conséquent les habitants de la côte de Norvège, jusqu'à son promontoire nord, au-delà de la ville de Drontheim, peut observer Vénus entrant dans le disque solaire et peut-être cette pénétration dans le soleil à son lever peut-elle être vue par les habitants du nord de l'Ecosse et ceux de Zetland. Mais lorsque Vénus sera le plus près du centre du soleil, il sera à la verticale des côtes septentrionales du golfe du Gange, ou plutôt du royaume de Pegu et par conséquent, dans les pays voisins, lorsque le soleil sera, à l'entrée de Vénus, distant de presque 4 heures à l'est, et presque autant à l'ouest à sa sortie, son mouvement apparent dans le disque solaire sera accéléré presque deux fois plus que dans la parallaxe horizontale de Vénus par rapport au soleil car Vénus à ce moment-là se déplace rétrograde d'est en ouest tandis qu'en attendant un œil, à la surface de la terre, est porté dans le sens contraire, d'ouest en est.

En supposant que la parallaxe du soleil, comme on l'a dit, soit de 12 secondes et demie, la parallaxe de Vénus sera de 43 secondes et en soustrayant la parallaxe du soleil, il restera au moins une demi-minute pour la parallaxe horizontale de Vénus au soleil, et par conséquent, Le mouvement de Vénus sera accéléré d'une minute au moins par cette parallaxe, tandis qu'elle passera au-dessus du disque solaire, dans des élévations du pôle telles qu'elles se trouvent près du tropique et plus encore près de l'équateur. Car Vénus décrira à ce moment-là avec suffisamment de précision dans le disque solaire 4 minutes par heure et par conséquent, au moins 11 minutes de temps (par lesquelles la durée de cette éclipse de Vénus sera contractée en raison de la parallaxe) répondre à ¾ d'une minute. Et par cette seule contraction, nous pourrions déterminer sans risque la parallaxe, à condition que le diamètre du soleil et la latitude de Vénus soient donnés très précisément, ce que nous ne pouvons cependant pas apporter à un calcul, dans une affaire d'une si grande subtilité.

Nous devons donc avoir une autre observation, si possible, dans les endroits où Vénus possède le milieu du soleil à minuit, à savoir. sous le méridien opposé, c'est-à-dire 6h ou 90&# 176 plus à l'ouest que Londres, et où Vénus entre dans le disque solaire un peu avant son coucher, et s'éteint un peu après son lever qui se produira dans ledit méridien vers 56&# 176 de N. lat. c'est-à-dire au port de Nelson dans la baie d'Hudson. Car, dans les endroits voisins, la parallaxe de Vénus prolongera la durée du transit, et le rendra au moins 6 minutes plus long car tandis que le soleil semble tendre sous le pôle d'ouest en est, ces endroits sur la surface de la terre sembleront être portés avec un mouvement contraire vers l'ouest, c'est-à-dire avec un mouvement concourant avec le mouvement propre de Vénus, par conséquent Vénus semblera se déplacer plus lentement à l'intérieur du disque solaire et y continuer plus longtemps.

Si donc, dans les deux endroits, ce transit est dûment observé par des personnes appropriées, il est évident que la Mora sera plus longue de 17 minutes entières dans le port de Nelson que dans les Indes orientales et peu importe que l'observation soit faite à Fort St. George, communément appelé Maderas, ou à Bencoolen sur la côte ouest de l'île de Sumatra près de l'équateur. Mais si les Français inclinent à faire l'observation, Pondichéry sur la côte ouest du golfe du Gange, à l'altitude de 12°, sera un endroit approprié à cet effet : et pour les Hollandais, leur célèbre emporium Batavia est un endroit convenable. Et en effet, je voudrais faire plusieurs observations du même phénomène dans différentes parties, à la fois pour plus de confirmation, et de peur qu'un seul observateur ne soit déçu par l'intervention des nuages ​​de voir ce que je ne sais pas si ceux-ci sont présents ou suivants. l'âge reverra toujours et de laquelle dépend la solution certaine et adéquate du problème le plus noble, et par ailleurs le plus difficile. C'est pourquoi encore et encore, je recommande aux curieux de s'appliquer avec acharnement à cette observation.

Par ce moyen, la parallaxe du soleil peut être découverte, à sa cinq centième partie près, ce qui semblera sans doute surprenant à certains : mais pourtant, si une observation précise est faite dans les deux endroits mentionnés ci-dessus, il a déjà été montré que le la durée de ces éclipses de Vénus diffère les unes des autres de 17 minutes entières, en supposant que la parallaxe du soleil soit de 12 & 189 secondes. Et si cette différence se trouve être plus ou moins grande par observation, la parallaxe du soleil sera plus ou moins à peu près dans le même rapport. Et puisque 17 minutes de temps répondent à 12 & 189 secondes de parallaxe du soleil pour chaque seconde de parallaxe, il y aura une différence de plus de 80 secondes de temps donc, si cette différence est vraie dans les 2 secondes de temps, la quantité de la parallaxe du soleil sera atteint dans la 40ème partie d'une seconde et par conséquent sa distance sera déterminée dans sa 500ème partie au moins si la parallaxe ne se trouve pas inférieure à ce que je l'ai supposé pour 40 x 12½ est de 500 .

Ici, je n'ai pas tenu compte de la latitude de la planète, à la fois pour éviter la peine d'un calcul plus complexe, qui rendrait la conclusion moins évidente, comme aussi à cause du mouvement des nœuds de Vénus n'étant pas encore découvert, et qui peut seulement être dûment déterminé par de telles conjonctions de la planète avec le soleil comme celle-ci. Car ce n'est qu'en supposant que le plan de l'orbite de Vénus est immobile dans la sphère des étoiles fixes, et que ses nœuds continueraient aux mêmes endroits qu'en 1639, qu'il fut conclu que Vénus passerait 4 minutes sous le centre du soleil. Mais si en 1761 elle devait passer plus au sud, il sera évident, qu'il y a une régression des nœuds et si plus au nord, qu'il y a une progression de ceux-ci et cela au rythme de 5 minutes en 100 années juliennes, pour chaque minute dont la trajectoire de Vénus sera à ce moment-là plus ou moins éloignée du centre du soleil que lesdites 4 minutes. Mais la différence entre les durées de ces éclipses sera un peu inférieure à 17 minutes, en raison de la latitude sud de Vénus mais plus grande si, par la progression des nœuds, elle doit passer sur le soleil au nord de son centre.

Mais pour ceux qui ne connaissent pas bien la doctrine des parallaxes, j'expliquerai davantage la question à la fois par un chiffre et un calcul un peu plus précis. Donc, supposons qu'à Londres, le 25 mai, 17h55m, 1761, le soleil soit à 15° 37' des Gémeaux, et par conséquent qu'en son centre l'écliptique tend vers le nord dans un angle de 6° 10' et que le chemin visible de Vénus dans le disque solaire à ce moment-là descend vers le sud, formant un angle avec l'écliptique de 8 & 176 28' puis le chemin de Vénus tendra un peu vers le sud par rapport à l'équateur, coupant les parallèles de déclinaison dans un angle de 2° 18'. Supposons également que Vénus soit près du centre du soleil à ladite heure, et éloignée de lui vers le sud de 4 minutes, décrivant, par un mouvement rétrograde sur le disque solaire, 4 minutes par heure. Le demi-diamètre du soleil sera de près de 15' 51" et celui de Vénus de 37" 189". Et en supposant, à titre d'essai, que la différence des parallaxes horizontales de Vénus et du soleil soit de 31", telle qu'elle est en supposant que la parallaxe du soleil soit de 12". Soit donc un petit cercle, comme AEBD, figure. 3, pl. 5, être décrit du centre C, dont le demi-diamètre soit 31", représentant le disque terrestre, et dans ce dessin DabE et cde les ellipses des parallèles de 22 et 56&# 176 N. lat. de la même manière que celle qui est maintenant utilisée par les astronomes pour construire des éclipses solaires : et laissez BCA être le méridien dans lequel se trouve le soleil, vers lequel s'incline la ligne droite FHG, représentant le chemin de Vénus, dans un angle de 2° 18', dont la distance du centre C soit 240 parties telles que avant JC a 31 ans et à partir de C laisse tomber la bonne ligne CH perpendiculaire sur FG. Supposons alors que la planète en H à 17h55m, soit 5h55m du matin, laissez la ligne droite FHG être divisé en espaces horaires III IV, IV V, V VI, &c. égal à CH, c'est-à-dire 4 minutes. Laisse la bonne ligne KL être également égal à la différence des demi-diamètres apparents du soleil et de Vénus, ou 15' 13½". Alors le cercle, décrit avec le rayon KL, et de n'importe quel point dans le petit cercle, représentant le disque terrestre comme centre, rencontrera la ligne droite FG au point indiquant quelle heure il est à Londres, lorsque Vénus touchera le limbe du soleil dans un angle de contact interne, à cet endroit de la superficie de la terre qui se trouve sous le point supposé sur le disque. Et si un cercle, décrit depuis le centre C et avec le rayon KL, rencontrer FG dans les pointes F et g, les bonnes lignes FH, HG sera = 14' 41", que Vénus semblera franchir en 3h40m. Par conséquent F tombera sur 2h5m à Londres, et g à 9h35 du matin. D'où il est évident que si la grandeur de la terre s'évanouissait, pour ainsi dire, en un point, en raison de l'immense distance ou si, dépouillé de son mouvement diurne, elle aurait toujours le soleil à la verticale du même point. C, toute la mora de cette éclipse se poursuivrait pendant 7 & 190 heures. Mais en attendant que la terre tourne avec un mouvement contraire à celui de Vénus à travers 110&176 de long. et par conséquent la durée de ladite mora est plus courte, supposons de 12 minutes, elle sera de près de 7h8m, soit 107°.

Comment, dans le méridien lui-même, Vénus sera près du centre du soleil à l'embouchure orientale du Gange, où l'élévation du pôle est d'environ 22°. Par conséquent, cet endroit sera également éloigné du soleil des deux mains, aux moments d'entrée et de sortie de la planète, à savoir. 53½° comme points une, b, dans le plus grand parallèle DabE. Mais le diamètre UN B sera au loin un B, comme le carré du rayon au rectangle sous les sinus de 53½° et 68°, c'est-à-dire que 1' 2" est à 46" 13"' et en faisant un bon calcul, je trouve que le cercle décrit avec le rayon KL, du centre une, rencontrera la bonne ligne FH dans la pointe M, à 2h20m40s mais décrit depuis le centre b, il rencontrera HG dans N, à 9h29m22s à Londres par conséquent, le corps entier de Vénus sera vu sur les rives du Gange, à l'intérieur du disque solaire, pendant 7h8m42s. C'est pourquoi nous avons supposé à juste titre sa durée 7h8m, puisqu'ici une partie de minute est négligeable.

Mais en adaptant le calcul au port de Nelson, je trouve que Vénus passera au-dessus du disque du soleil, alors qu'il est sur le point de se coucher, et sortira de son disque immédiatement après son lever, cet endroit étant entre-temps transporté à travers l'hémisphère opposé. au soleil de c à , avec un mouvement conspirant avec celui de Vénus. Par conséquent, le mora de Vénus dans le disque solaire s'allongera en raison de la parallaxe, supposons de 4 minutes, de manière à se trouver entièrement à 7h24m ou 111° de l'équateur. Et puisque la latitude de l'endroit est 56°, ce sera comme le carré du rayon est au rectangle sous les sinus de 55½° et 34°, ainsi est UN B = 1' 2" à CD = 28" 33"'. Et après avoir dûment fait le calcul, il apparaîtra que le cercle, décrit à partir du centre c, avec le rayon KL, rencontrera la bonne ligne FH dans O, à 2h12m45s mais décrit depuis le centre , il rencontrera HG dans P, à 9h36m37s. Par conséquent, la durée de la mora au port de Nelson sera de 7h23m52s, à savoir. plus grand qu'à l'embouchure du Gange de 15ml0s de temps. Mais si Vénus passe sans latitude, ladite différence deviendra 18m40s et si elle se trouve 4 minutes plus au nord que le centre du soleil, la différence sera portée à 21m40s, et sera encore plus grande en augmentant le N. lat de la planète.

De l'hypothèse ci-dessus, il s'ensuit qu'à Londres, Vénus se lèvera lorsqu'elle entrera dans le soleil, et à 9h37m le matin dans sa sortie touchera intérieurement le limbe du soleil, et quittera tout à fait son disque pas avant 9h56m.

Il est évident d'après la même hypothèse, que Vénus touchera avec son centre l'extrémité nord du soleil le 23 mai, 11h 1769, de sorte qu'en raison de la parallaxe, tout son corps peut être vu dans les parties nord de La Norvège, dans le disque solaire tandis que sur la côte du Pérou et du Chili, elle semblera chevaucher le disque du soleil couchant avec un petit segment de son corps comme de la même manière dans les îles Moluques et les parties voisines, au soleil- en hausse. Mais s'il s'avère que les nœuds de Vénus ont une rétrocession, comme il y a lieu de le soupçonner d'après certaines observations ultérieures, alors tout son corps étant vu partout dans le disque solaire, les plus grandes différences de ces éclipses fourniront une preuve encore plus évidente. de la parallaxe du soleil.

Le transit de Vénus en 1761 s'est avéré beaucoup moins favorable au but proposé que ne l'avait prévu le Dr Halley. Le mouvement du nœud de Vénus n'étant pas bien connu, elle passa beaucoup plus près du centre du soleil qu'il ne le supposait, ce qui rendait les endroits qu'il avait indiqués pour observer la durée totale inappropriés pour le but en effet l'entrée de Vénus sur le soleil ne pouvait pas être vu à la Baie d'Hudson. Il se trompa aussi dans le calcul, en faisant la somme au lieu de la différence, de l'angle de l'écliptique avec la parallèle à l'équateur, et de l'angle de la trajectoire de Vénus.

Cette traduction de l'article de Halley est tirée des Abridged Transactions of the Royal Society, Volume VI, pp.243-249, publié en 1809.


Ptolémée connaissait la parallaxe de la Lune (il l'explique dans la section 11, chapitre V de la syntaxe mathématique). Pour le mesurer, il inventa "l'instrument parallactique" décrit dans la section 12. La section 13 est consacrée à la détermination de la distance de la Lune, où il explique son observation en détail.

En gros, il calcule la position géocentrique de la Lune dans le ciel à partir de la théorie (qui était très précise à cet effet), et la compare à une observation. Il trouve une parallaxe de 1,7 degrés. (Bien sûr, il prend la précaution nécessaire pour que la théorie décrivant le vrai mouvement de la Lune soit indépendante de la parallaxe. Elle décrit la position de la Lune vue du centre de la Terre.)

La parallaxe donne la distance en unités du rayon de la Terre : il trouve cette distance à environ 39 (au moment de l'observation). La distance moyenne selon Ptolémée est de 59. C'est un bon résultat pour la précision des observations à cette époque. Il ne discute pas du rayon de la Terre dans d'autres unités, comme les stadii, probablement il s'en fichait. Il parle aussi de la parallaxe du Soleil, mais ici il se trompe de loin : la parallaxe du Soleil est trop petite pour être mesurée de manière fiable à l'époque de Ptolémée.

L'existence de la parallaxe de la Lune était déjà connue d'Hipparque, mais aucun des écrits techniques d'Hipparque ne survit, donc toutes nos informations sont basées sur la syntaxe de Ptolémée ("Almageste").

Remarque : Il existe des traductions facilement disponibles de Ptolémée, mais c'est une lecture difficile. Pour l'idée générale, tapez diverses combinaisons des mots "Ptolémée", "parallaxe", "instrument parallactique" et "triquetrum (astronomie)" sur Google.


Essayez ceci : tenez un crayon droit devant vous à bout de bras. Fermez un œil et alignez le crayon avec un objet éloigné (par exemple, un interrupteur sur le mur de l'autre côté de la pièce). Maintenant, sans bouger le crayon, fermez l'autre œil et regardez le crayon. Le crayon semble bouger&mdashit n'est plus aligné avec l'objet distant. Que s'est-il passé?

En raison de la distance entre vos deux yeux, chaque œil voit le crayon sous un angle légèrement différent (étiqueté P dans la figure 1). En regardant alternativement le crayon avec chaque œil seul, vous modifiez votre point de vue par la distance qui sépare vos yeux. Chaque œil seul verra le crayon aligné à une position différente sur un arrière-plan éloigné. Ainsi, lorsque vous fermez un œil puis l'autre, le crayon semble se déplacer par rapport à l'arrière-plan.

Figure 1. Si vous regardez un objet tenu à bout de bras d'abord à travers un œil puis à travers l'autre, l'objet semble se déplacer par rapport à un arrière-plan plus éloigné. Ceci est un exemple de parallaxe de mouvement.

Ce que vous voyez avec le crayon est un exemple de parallaxe de mouvement, le mouvement apparent d'un objet par rapport à un arrière-plan éloigné dû au mouvement de l'observateur. Les astronomes peuvent utiliser la parallaxe de mouvement pour mesurer la distance aux étoiles relativement proches de la Terre. Avec les distances impliquées, l'astuce consistant à simplement fermer un œil puis l'autre ne fonctionne pas pour les étoiles. Vous avez besoin d'une distance beaucoup plus grande entre les deux observations que la distance entre vos yeux. Les astronomes profitent du déplacement de la terre dans son orbite autour du soleil pour obtenir la séparation maximale entre deux observations d'une étoile (voir figure 2). L'angle de parallaxe, P, est mesurée en comparant la position de l'étoile proche à la position stable des étoiles lointaines d'arrière-plan.

Figure 2. Les astronomes peuvent utiliser la parallaxe de mouvement pour mesurer la distance aux étoiles proches. Ils profitent du déplacement de la terre sur son orbite autour du soleil pour obtenir la distance maximale entre deux mesures. L'étoile est observée deux fois, depuis le même point sur terre et à la même heure de la journée, mais à six mois d'intervalle. (Wikipédia, 2006b

Terry Herter, professeur d'astronomie à l'Université Cornell, a écrit une applet Java interactive intéressante qui illustre comment les astronomes utilisent la parallaxe de mouvement pour mesurer les distances par rapport aux étoiles proches (Herter, 2006). Vous pouvez cliquer et faire glisser sur l'étoile dans l'applet pour modifier sa distance par rapport à la terre. Lorsque vous le faites, vous verrez comment son mouvement apparent pour un observateur sur terre change avec sa distance de la terre.

Comment est calculée la distance de la terre à l'étoile ? La méthode s'appelle triangulation, car vous utilisez les propriétés des triangles pour mesurer la distance. In this case it is a right triangle, with the sun forming the vertex of the right angle. The length of the short side of the triangle (distance from the earth to the sun) is known. The parallax angle is measured from observations of the nearby stars motion relative to distant background stars. Astronomers can make this measurement using photographs taken with the telescope. They can measure the angle of the nearby star's motion because they have previously calibrated the angle subtended by the field of view of the telescope.

The motion is measured in angular units called arc seconds. (One degree of arc can be divided into 60 arc minutes, and each minute of arc can be divided into 60 arc seconds. So an arc second is 1/3600th of a degree.) The parallax angle, p is equal to one half of the observed motion, measured in arc seconds (see Figure 2).

Here is the equation used for calculating the distance to a nearby star (you can read how this equation was derived in the Wikipedia article on parallax (Wikipedia contributors, 2006a)):

The distance from the Earth to a star is equal to the distance from the Earth to the Sun multiplied by 180, multiplied by 3600 and then divided by the product of the parallax angle and pi.

The parallax angle, p, is given in arc seconds.

You can use a similar technique to measure the distance of objects that you observe with a telescope. For astronomers, the background objects against which nearby stars are measured is essentially at infinity. The angular motion is measured by calibrating the angle of view of the telescope, and making measurements from photographs. You'll make your measurements with a known distance from the object to a calibration grid behind the object. You'll use the parallax angle and similar triangles to figure out the distance between the object and the telescope. The Experimental Procedure section shows how you can do this on a football field.


It happened long before Newton. In the second century BC Hipparchus used lunar parallax to calculate a value for the minimum and maximum distance of the earth and moon. His results are very close to the modern calculation of this distance.

You can read about it here: Toomer G.J. (1974), "Hipparchus on the Distances of the Sun and Moon." Archives for the History of the Exact Sciences 14: 126–142.

This is an ill defined question. It can be interpreted as "Who was the first to TRY to measure the distance to the Moon", or "Who was the first to give a correct number", and what is counted as correct number.

And even this does not define the question precisely. The crucial question: "in what units"? It is relatively easy to measure the distance in terms of the radius of the Earth. But it is another matter, if you want the answer in miles, kilometers or stadia.

The earliest written evidence that survived is a purely theoretical work of Aristarchus where he explains some mathematics involved. One can conclude from the book that he hardly measured anything in practice.

Hipparchus who lived later, had already the idea of the order of magnitude of Moon's parallax (this is equivalent to measuring the distance in terms of the Earth radius). However most ancients did not discuss the distance as we understand it, but only ratios, for example the ratio of the distance to the Sun and to the Moon, or the Moon's parallax which is sufficiently large to be measured by primitive tools. To pass from the Moon parallax to the distance in some conventional length units one needs to know the size of the Earth. The size of the Earth was measured by Eratosthenes, but it is still subject of discussion how accurate his measurement was.

The problem is that he gives the answer is stadia, and nobody knows how long his stadium was. Few other measurements were made after him, but still when Newton was a student he was taught that the degree of the meridian is 60 (British) miles. There was no way to measure the distance to the Moon without knowing the radius of the Earth.


How to Measure the Moon this Weekend

On the night of May 22, 1453, the people of Byzantium could see an eerie red shadow cross the Moon. It was a partial eclipse–the Earth had gotten in between the Sun and Moon–and the Byzantines took it as a bad omen. And perhaps they were right–the city of Constantinople fell before the month’s end.

A full lunar eclipse will take place this weekend, visible from Asia, Australia and western North America. But people today don’t view this astronomical event as a worrying sign. Instead, it’s time for science! And you can participate.

The Classroom Astronomer magazine has set up a website, measurethemoon.org, to coordinate observations of the position of the moon in the sky as it passes through our planet’s shadow. And if you’re in the right place, you can measure the distance from the Earth to the Moon.

There are two ways to do this. The first is called the Shadow Method, and it’s the way that the ancient Greeks first measured the distance between the Earth and Moon thousands of years ago. Amy Shira Teitel explains in Univers aujourd'hui:

Start with the few knowns. We know, as did the Ancient Greeks, that the Moon travels around the Earth at a constant speed—about 29 days per revolution. The diameter of the Earth is also known to be about 12,875 kilometers, or 8,000 miles. By tracking the movement of the Earth’s shadow across the Moon, Greek astronomers found that the Earth’s shadow was roughly 2.5 times the apparent size of the Moon and lasted roughly three hours from the first to last signs of the shadow.

From these measurements, it was simple geometry that allowed Aristarchus (circa 270 B.C.) to determined that the Moon was around 60 Earth radii away (about 386,243 km or 240,000 miles). This is quite close to the currently accepted figure of 60.3 radii.

You can follow Aristarchus’ method in your own backyard if you have a clear view of a Lunar eclipse. Track the movement of the Earth’s shadow on the Moon by drawing the changes and time the eclipse. Use your measurements to determine the Moon’s distance.

The second method, the Lunar Parallax Method, was familiar to the ancient Greeks but they lacked the ability to communicate over the far distances that is necessary to carry this out. Telephones and the Internet make this easily possible now. Two observers at least 2,000 miles apart will have to snap a picture of the Moon at the exact same moment. Because the angle at which the Moon and the stars behind it will be different for each person, the images they snap will be slightly different, particularly the stars in the background. “What your images have given you is a triangle,” Teitel explains. “You know the base (the distance between you and your friend), and you can find the angle at the top (the point of the Moon in this triangle). Simple geometry will give you a value for the distance of the Moon.”

If the people behind measurethemoon.org get enough participants, they’ll be able to compare all the various calculations, determine which method is more accurate and figure out how close two people have to be to get an accurate calculation with the Lunar Parallax Method.

If you’re not up for calculations, there are a few other lunar eclipse science projects you might want to participate in:

  • Roger Sinnott of Sky & Télescope is collecting telescopic timings of the the passage of Earth’s shadow across lunar craters (find instructions here) as part of a long-term project to track the unpredictability of the diameter of the shadow.
  • John Westfall of the Association of Lunar and Planetary Observers is collecting timings of when the phases of the lunar eclipse begin and end, made with the unaided eye, to calibrate similar observations made in the past when mariners used the Moon to determine longitude.
  • Richard Keen of the University of Chicago will collect reports of the Moon’s brightness from amateur astronomers for use in volcano-climate studies.

After reading all this and seeing the picture above, you may be wondering why the Moon in a lunar eclipse turns red, not black. “That red light on the Moon during a lunar eclipse comes from all the sunrises and sunsets around the Earth at the time,” says Robert Naeye, editor in chief of Sky & Télescope. “If you were an astronaut standing on the Moon and looking up, the whole picture would be clear. The Sun would be covered up by a dark Earth that was ringed all around with a thin, brilliant band of sunset- and sunrise-colored light, bright enough to dimly light the lunar landscape around you.”

If, like me, you’ll miss out on this chance to see a lunar eclipse, your next opportunity will come in April 2014.


Since the Moon is much closer to the Earth than the stars, it exhibits a parallax even with respect to different positions on the Earth’s surface. This “diurnal” parallax, is usually quoted as the angular shift in the Moon’s apparent position relative to the background stars from two different points on the Earth’s surface, where the Moon appears to be directly overhead and where the Moon appears to be on the horizon.

This parallax can be as large as one second of arc, roughly twice the apparent angular size of the Moon’s disc. This lunar parallax is the reason that a total solar eclipse is only visible at certain locations on the Earth’s surface.


Distance to the Moon

How far away is the Moon? One way to find out is by using parallax: observe the Moon from two points on the Earth's surface, and measure the shift in its position with respect to the background stars.

This measurement of the Moon's distance uses the same approach used in Parallax in the Lab . In particular, we line the Moon up with a star, observe it from two different locations, and use the apparent shift in the Moon's position to get its distance. The only real difference is one of scale the baseline stretches from here to the island of Tahiti, and the distance we want to measure is several hundred thousand kilometers!

A lunar occultation provides a convenient opportunity to determine the Moon's position with respect to the stars. Just before the Moon occulted the star TU Gem on the night of March 11th, you were able to observe the Moon and the star through the telescope, and draw the Moon's position on the chart we handed out in class.

To make a parallax measurement, we need to combine this observation with another made from a reasonably distant location. Tahiti is a good place for the second observation it's far enough away that the Moon's position with respect to the stars is noticeably different. In addition, Tahiti is basically South of Oahu this simplifies the calculations since the baseline from here to Tahiti is roughly perpendicular to the line from here to the Moon.

There's one drawback, however, to using Tahiti we need someone there to make an observation of the Moon's position at the same time we made our observations here on Oahu. (The observations must be made at the same time because the Moon is moving with respect to the stars.) Since we didn't actually have anyone observing from Tahiti, we just have to pretend we did! Attached to this handout is a chart, much like the one we handed out in class, which shows the Moon's position as seen from Tahiti at about the same time we made our observations. You can combine that chart with your own to figure out the Moon's distance.

(Before going ahead with the measurement, however, you may want to check the Moon's position on your chart. Everyone drew the Moon very close to TU Gem, which is correct, but some people got confused about the chart's orientation, and drew the Moon to the wrong side of the star. The trick is to realize that the sunlight on the Moon is coming from the West , and if you hold this chart up in the sky so the arrow points to the North, the West side of the chart is toward the right . Note that on the direction of the sunlight falling on the Moon is the same from Oahu and Tahiti on the chart from Tahiti, dark is shown as light and light as dark, following the usual ink-saving convention.)

The first step in this measurement is to lay the chart from Tahiti on top of the one you used, carefully line things up so the stars in both charts match, and trace the lunar position that you measured onto the chart from Tahiti. The Tahiti chart now has two circles one shows the Moon's position from Tahiti, the other shows its position from Oahu. Now use a ruler to measure the shift in the Moon's position in centimeters. These charts have a scale of 2 cm per degree thus a 1 cm shift on the chart represents a parallax angle = 0.5°.

To compute the Moon's distance, you need the baseline b from here to Tahiti. The straight-line distance between the islands of Oahu and Tahiti is 4324 km you should use this distance for b . (Of course, this line passes deep under the Earth's surface the sailing distance to Tahiti is greater.) A more accurate value for the baseline would take into account the fact that the triangle formed by Oahu, Tahiti, and the Moon is not a right triangle, but the math involved is tedious and not very instructive. However, you should be aware that distance to the Moon you compute using 4324 km for b will probably be about 20% too large.

Once you have the parallax angle and the baseline b , you can use the parallax equation to compute the Moon's distance:
As before, D will be in the same units as b since b is expressed in kilometers, you will get D in kilometers as well.

RESSOURCES WEB

The GIF file should be printed at 100 dpi to get a scale of 2 cm per degree.

Detailed presentation of the calculations needed for an accurate parallax measurement of the Moon's distance fairly technical.

REVIEW QUESTIONS

  • Why does the straight-line distance of 4324 km from Oahu to Tahiti yield an overestimate for the Moon's distance? (Hint: the Moon was somewhat to the North of the Zenith point as seen from Oahu, and even further to the North as seen from Tahiti make a sketch showing the shape of the triangle formed by Oahu, Tahiti, and the Moon. Is it a right triangle?)

REPORT: DISTANCE TO THE MOON

  1. the general idea of the measurement,
  2. the equipment you used for this work,
  3. a summary of your experimental results, and
  4. les conclusions auxquelles vous êtes parvenu.

    Explain, in your own words , what an occultation is and why an occultation provides a good opportunity to measure the Moon's distance.


Want to Measure the Distance to the Moon Yourself? Now You Can!

Astronomy is a discipline pursued at a distance. And yet, actually measuring that last word — distance — can be incredibly tricky, even if we set our sights as nearby as the Moon.

But now astronomers from the University of Antioquia, Colombia, have devised a clever method that allows citizen scientists to measure the Moon’s distance with only their digital camera and smartphone.

“Today a plethora of advanced and accessible technological devices such as smartphones, tablets, digital cameras and precise clocks, is opening a new door to the realm of ‘do-it-yourself-science’ and from there to the possibility of measuring the local Universe by oneself,” writes lead author Jorge Zuluaga in his recently submitted paper.

While ancient astronomers devised clever methods to measure the local Universe, it took nearly two millennia before we finally perfected the distance to the Moon. Now, we can bounce powerful lasers off the mirrors placed on the Lunar surface by the Apollo Astronauts. The amount of time it takes for the laser beam to return to Earth gives an incredibly precise measurement of the Moon’s distance, within a few centimeters.

But this modern technique is “far from the realm and technological capacities of amateur astronomers and nonscientist citizens,” writes Zuluaga. In order to bring the local Universe into the hands of citizen scientists, Zuluaga and colleagues have devised an easy method to measure the distance to the Moon.

The trick is in observing how the apparent size of the Moon changes with time.

As the moon rises its distance to an observer on the surface of the Earth is slightly reduced.
Image Credit: Zuluaga et al.

While the Moon might seem larger, and therefore closer, when it’s on the horizon than when it’s in the sky — it’s actually the opposite. The distance from the Moon to any observer on Earth decreases as the Moon rises in the sky. It’s more distant when it’s on the horizon than when it’s at the Zenith. Note: the Moon’s distance to the center of the Earth remains approximately constant throughout the night.

The direct consequence of this is that the angular size of the moon is larger — by as much as 1.7 percent — when it’s at the Zenith than when it’s on the horizon. While this change is far too small for our eyes to detect, most modern personal cameras have now reached the resolution capable of capturing the difference.

So with a good camera, a smart phone and a little trig you can measure the distance to the Moon yourself. Here’s how:

1.) Step outside on a clear night when there’s a full Moon. Set your camera up on a tripod, pointing at the Moon.

2.) With every image of the Moon you’ll need to know the Moon’s approximate elevation. Most smartphones have various apps that allow you to measure the camera’s angle based on the tilt of the phone. By aligning the phone with the camera you can measure the elevation of the Moon accurately.

3.) For every image you’ll need to measure the apparent diameter of the Moon in pixels, seeing an increase as the Moon rises higher in the sky.

4.) Lastly, the Moon’s distance can be measured from only two images (of course the more images the better you beat down any error) using this relatively simple equation:

where d(t) is the distance from the Moon to your location on Earth, RE is the radius of the Earth, ht(t) is the elevation of the Moon for your second image, &alpha(t)
is the relative apparent size of the Moon, or the apparent size of the Moon in your second image divided by the initial apparent size of the Moon in your first image and ht,0 is the initial elevation of the Moon for your first image.

So with a few pictures and a little math, you can measure the distance to the Moon.

“Our aim here is not to provide an improved measurement of a well-known astronomical quantity, but rather to demonstrate how the public could be engaged in scientific endeavors and how using simple instrumentation and readily available technological devices such as smartphones and digital cameras, any person can measure the local Universe as ancient astronomers did,” writes Zuluaga.

The paper has been submitted to the American Journal of Physics and is available for download here.


Part 3: Determining the Distance to a Building from Van Allen

Astronomers often use parallax to measure distances to objects within our solar system, such as comets and asteroids. To measure distances to these kinds of objects, astronomers use a different method to measure parallax than the one described in the previous section. The reasons for this are 1) you want to know the instantaneous distance to an object, and if you had to wait six months, it may be a completely different distance away from Earth, and 2) many comets and asteroids are moving quickly through our solar system, so they may not be in it after six months.

So, to measure parallax to objects within our solar system, astronomers use topocentric parallax, which is when you view the same object from different places on the Earth simultaneously.

Topocentric parallax was used to determine the distance to the Sun from Earth using the transit of the asteroid Eros in 1931. At the time, Eros was within Mars’ orbit and in opposition with the Sun, meaning it was behind the Sun from Earth’s point of view. When it was viewed simultaneously from two points on the Earth, the apparent position of Eros compared to the background stars was different. By observing Eros as it orbited around the Sun, astronomers could calculate the distance to Eros using parallax. Once the distance between Eros and Earth was established, the distance to the Sun was calculated from Kepler’s Third Law.

Lab Exercise

In this section, you will be applying the method of topocentric parallax on a smaller scale to determine the distance to the Old Capitol Building from Van Allen. Instead of having observations across the earth, we will be using the width of the roof as our baseline and a compass.

To measure the parallax of the building, one group member will stand at one end of the roof and face it. Note the angle on the compass that the building makes with respect to North. Have a second group member stand at the other corner of the roof, and read the angle the same building makes with respect to North. You should use these two measurements to determine the parallax, or the apparent change in position, of the building.

Now you will calculate the distance to the building using your parallax measurement and the small angle formula. Here are some hints to guide you.

• The thick posts supporting the guardrail running around the edge of the roof are all 1.3 meters apart (save for a few obvious exceptions). How can you use this to determine your baseline, d?

• Think about the geometry of your observation. How do we define the parallax angle with this geometry? If it helps, revisit the image on the Stellar Parallax (Part 2).

• Use Google maps and a ruler to determine the distance to the building. How accurate were you?