Astronomie

Comment calculer le centre (pas le foyer) de l'orbite planétaire ?

Comment calculer le centre (pas le foyer) de l'orbite planétaire ?

Je développe un site web montrant le mouvement des planètes du système solaire selon le passage du temps. J'utilise cette référence pour calculer tous les paramètres orbitaux nécessaires.

Ce sont deux images à quelques jours d'intervalle.

(Seules les planètes jusqu'à Mars sont montrées ici. L'orbite de la lune a été fortement exagérée pour devenir visible. Les rayons des corps célestes ne sont pas non plus à l'échelle, sauf entre eux, sauf le Soleil.)

Les images montrent la grande excentricité de l'orbite de Mercure, la rendant très éloignée du Soleil dans la première image, et très proche de lui dans la seconde.

Je veux dessiner la bonne ellipse, au lieu de cercles qui changent constamment de rayon. J'ai tous les "éléments orbitaux" donnés dans le lien ci-dessus (N, i, w, a, e, M, r, v, x, y, z, lon, lat), mais je ne sais pas comment extraire un ellipse d'eux. Je dessine les planètes en utilisant les coordonnées héliocentriques x, y. Même si j'avais les foyers d'ellipse, JavaScript a besoin du centre géométrique de l'ellipse pour la dessiner, et je ne sais pas non plus comment convertir le premier en ce dernier.

Comment calculer le centre de l'ellipse à partir des paramètres donnés ci-dessus ?


Je suppose que le Soleil est à l'origine : (0,0). Ensuite, nous pouvons regarder cette image d'une ellipse :

Les foyers sont en +-c, où c = ea, par définition de l'excentricité. Pour placer le périgée sur l'axe des ordonnées négatives, on peut alors dire que le centre de l'ellipse est à (0,ea). Ensuite, pour tenir compte de l'argument du périapside, w, nous devons faire pivoter l'ellipse (et le centre de l'ellipse) dans le sens inverse des aiguilles d'une montre autour de l'origine pour obtenir les coordonnées du centre de l'ellipse, (x,y) =(-eapéché(w),chcos(w)). Une meilleure approximation inclurait l'inclinaison, i, pour une projection 2D, mais l'inclinaison est petite pour Mercure, donc cela peut ne pas avoir d'importance pour les besoins de votre animation. Ce diagramme pour les éléments orbitaux devrait également aider:


J'ai calculé les distances du périhélie et de l'aphélie,

q = a*(1-e); // distance au périhélie Q = a*(1+e); // distance de l'aphélie

les longitudes du périhélie et de l'aphélie,

angPeri = (lon-v)*Math.PI/180 ; angAph = (lon-v+180)*Math.PI/180 ;

les coordonnées du périhélie et de l'aphélie,

xPéri = q*Math.cos(angPéri); yPéri = q*Math.sin(angPéri); xAph = Q*Math.cos(angAph); yAph = Q*Math.sin(angAph);

puis le centre de l'ellipse,

xEll = (xPéri+xAph)/2 ; yEll = (yPéri+yAph)/2 ;

calculéuneproportionnel à la taille de la toile,

aPx = a*maxPx/maxAU ;

maxPxest le rayon de l'orbite de Mars en pixels,maxAUest le rayon de l'orbite de Mars en unités astronomiques. Puis j'ai enfin dessiné l'ellipse,

ctx.ellipse(canvasWidth/2+xEll,canvasHeight/2-yEll,aPx,aPx*Math.sqrt(1-e*e),angAph,0,2*Math.PI);

toileLargeur/2ettoileHauteur/2signifie que le Soleil est positionné au centre de la toile.


Du centre du Soleil, toujours. Lorsque vous déduisez les équations du mouvement des planètes, vous calculez toujours à partir du centre. De plus, les résultats ne changent pas lorsque le Soleil explose en géant rouge ou s'effondre en nain.

Mais même si vous mesurez à partir de la surface, dans la plupart des cas, cela ne fera pas une énorme différence. Dans le cas de la Terre, c'est une erreur de 0,5 %. Ce serait une erreur plus grande pour les planètes internes, une erreur plus petite pour les planètes externes.

EDIT : Incorrect. Les planètes (et le Soleil aussi) orbitent autour du barycentre commun du système solaire.

C'est ainsi que fonctionnent les mathématiques/la physique - à moins de minuscules altérations dues à une distribution de masse non uniforme, le centre de masse d'une planète orbite autour du centre de masse du Soleil.

Et le centre de masse du Système_solaire (qui est très proche du centre du Soleil) orbite autour du centre de masse de la galaxie, etc.

Les positions et les distances sont calculées par rapport au centre de masse d'un corps, et non par rapport au centre géométrique ou à la surface. Le centre de la Terre (et donc sa surface) se déplace par rapport à son centre de masse d'environ un centimètre. Le centre de masse de Mercure est décalé de son centre de la figure (centre géométrique) par 640 mètres.

La télémétrie radar mesure directement la distance de surface à surface, mais ces distances sont converties en distances de centre de masse afin de calculer les orbites.


Quelques propriétés des ellipses

1. Pour une ellipse, il y a deux points appelés foyers (singulier : foyer) tels que la somme des distances aux foyers à partir de n'importe quel point de l'ellipse est une constante. En ce qui concerne le diagramme montré à gauche, avec "x" marquant l'emplacement des foyers, nous avons l'équation

qui définit l'ellipse en fonction des distances a et b.

2. La quantité d'"aplatissement" de l'ellipse est appelée l'excentricité. Ainsi, dans la figure suivante, les ellipses deviennent plus excentriques de gauche à droite. Un cercle peut être considéré comme un cas particulier d'ellipse avec une excentricité nulle, tandis que lorsque l'ellipse s'aplatit, l'excentricité se rapproche de un. Ainsi, toutes les ellipses ont des excentricités comprises entre zéro et un. Les orbites des planètes sont des ellipses mais les excentricités sont si petites pour la plupart des planètes qu'elles semblent circulaires à première vue. Pour la plupart des planètes, il faut mesurer soigneusement la géométrie pour déterminer qu'il ne s'agit pas de cercles, mais d'ellipses de faible excentricité. Pluton et Mercure sont des exceptions : leurs orbites sont suffisamment excentriques pour que l'inspection puisse les voir ne pas être des cercles.

3. Le grand axe de l'ellipse est appelé le grand axe, tandis que l'axe court est appelé le petit axe (figure ci-contre). La moitié du grand axe est appelée un demi-grand axe. La longueur d'un demi-grand axe est souvent appelée la taille de l'ellipse. On peut montrer que la séparation moyenne d'une planète du Soleil lorsqu'elle tourne autour de son orbite elliptique est égale à la longueur du demi-grand axe. Ainsi, par le "rayon" de l'orbite d'une planète, on entend généralement la longueur du demi-grand axe.


3: Orbites et gravité

  • Contribution d'Andrew Fraknoi, David Morrison, & Wolff et al.
  • Provenant d'OpenStax

Comment trouveriez-vous une nouvelle planète à la périphérie de notre système solaire qui est trop sombre pour être vue à l'œil nu et qui est si éloignée qu'elle se déplace très lentement parmi les étoiles ? C'était le problème auquel étaient confrontés les astronomes au XIXe siècle alors qu'ils tentaient de dresser un inventaire complet de notre système solaire.

Si nous pouvions observer le système solaire de quelque part dans l'espace, l'interprétation des mouvements planétaires serait beaucoup plus simple. Mais le fait est que nous devons observer les positions de toutes les autres planètes à partir de notre propre planète en mouvement. Les scientifiques de la Renaissance ne connaissaient pas mieux les détails des mouvements de la Terre que les mouvements des autres planètes. Leur problème, comme nous l'avons vu dans Observing the Sky: The Birth of Astronomy, était qu'ils devaient déduire la nature de tous les mouvements planétaires en utilisant uniquement leurs observations terrestres des positions des autres planètes dans le ciel. Pour résoudre plus complètement ce problème complexe, de meilleures observations et de meilleurs modèles du système planétaire étaient nécessaires.

  • 3.1 : Les lois du mouvement planétaire Tycho Brahé les observations précises des positions planétaires ont fourni les données utilisées par Johannes Kepler pour dériver ses trois lois fondamentales du mouvement planétaire. Les lois de Kepler décrivent le comportement des planètes sur leurs orbites comme suit : (1) les orbites planétaires sont des ellipses avec le Soleil à un foyer (2) à intervalles égaux, une orbite planétaire balaie des zones égales et (3) la relation entre la période orbitale (P) et le demi-grand axe (a) d'une orbite est donné par (P^2 = a^3) (lorsque a est en unités
  • 3.2: Newton&rsquos Great Synthesis Dans ses Principia, Isaac Newton a établi les trois lois qui régissent le mouvement des objets : (1) les objets continuent d'être au repos ou se déplacent avec une vitesse constante à moins qu'ils ne soient sollicités par une force extérieure (2) une force extérieure provoque une accélération (et modifie la quantité de mouvement) pour un objet et (3) pour chaque action, il y a une réaction égale et opposée. La quantité de mouvement est une mesure du mouvement d'un objet et dépend à la fois de sa masse et de sa vitesse.
  • 3.3 : La loi universelle de la gravitation de Newton La gravité, la force d'attraction entre toutes les masses, est ce qui maintient les planètes en orbite. La loi universelle de la gravitation de Newton relie la force gravitationnelle à la masse et à la distance. La force de gravité est ce qui nous donne notre sens du poids. Contrairement à la masse, qui est constante, le poids peut varier en fonction de la force de gravité (ou d'accélération) que vous ressentez. Lorsque les lois de Kepler sont réexaminées à la lumière de la loi gravitationnelle de Newton, il devient clair que les masses des deux objets sont importantes pour le troisième.
  • 3.4 : Orbites dans le système solaire Le point le plus proche d'une orbite satellite autour de la Terre est son périgée, et le point le plus éloigné est son apogée (correspondant au périhélie et à l'aphélie pour une orbite autour du Soleil). Les planètes suivent des orbites autour du Soleil qui sont presque circulaires et dans le même plan. La plupart des astéroïdes se trouvent entre Mars et Jupiter dans la ceinture d'astéroïdes, alors que les comètes suivent généralement des orbites de forte excentricité.
  • 3.5 : Mouvements des satellites et des engins spatiaux L'orbite d'un satellite artificiel dépend des circonstances de son lancement. La vitesse circulaire du satellite nécessaire pour orbiter autour de la surface de la Terre est de 8 kilomètres par seconde, et la vitesse de fuite de notre planète est de 11 kilomètres par seconde. Il existe de nombreuses trajectoires interplanétaires possibles, y compris celles qui utilisent des survols assistés par gravité d'un objet pour rediriger le vaisseau spatial vers sa prochaine cible.
  • 3.6 : Gravité avec plus de deux corps Le calcul de l'interaction gravitationnelle de plus de deux objets est compliqué et nécessite de gros ordinateurs. Si un objet (comme le Soleil dans notre système solaire) domine gravitationnellement, il est possible de calculer les effets d'un deuxième objet en termes de petites perturbations. Cette approche a été utilisée par John Couch Adams et Urbain Le Verrier pour prédire la position de Neptune à partir de ses perturbations de l'orbite d'Uranus et ainsi découvrir mathématiquement une nouvelle planète.
  • 3.E : Orbites et gravité (exercices)

Vignette : cet habitat spatial et ce laboratoire orbitent autour de la Terre toutes les 90 minutes. (crédit : modification du travail par la NASA)


Calculer les positions des planètes

Comment calculer les positions des planètes : un aperçu

Cette brève explication décrit les méthodes utilisées dans la simulation ci-dessus pour déterminer l'ascension droite (RA) et la déclinaison (déc) du Soleil, Mercure, Vénus, Mars, Jupiter et Saturne. Il suppose une certaine formation en astronomie. Cependant, il existe un glossaire raisonnablement verbeux lié à ce qui peut être des termes inconnus. En vérité, cette explication s'adresse davantage à ceux qui souhaitent savoir exactement quelles hypothèses sous-tendent la simulation ci-dessus. Cependant, cette explication sert de bonne étude de cas pour déterminer la position des planètes.

La simulation superpose le RA et le Dec des cinq planètes visibles à l'œil nu et le soleil au sommet d'une projection cylindrique du ciel de la Terre. Le nom de planète se traduit approximativement par « errant ». Connaissant le modèle géocentrique utilisé depuis si longtemps, beaucoup de mes étudiants supposent simplement que les planètes se déplacent dans le ciel à peu près de la même manière que la lune ou le soleil - rampant régulièrement vers l'est. Ils ne le font pas, et j'ai développé cette simulation pour illustrer leur véritable nature errante.

Résoudre l'équation de Kepler et calculer les éphémérides

Lorsque j'ai abordé ce problème pour la première fois, je savais que je devais résoudre l'équation de Kepler et m'amuser un peu avec les cadres de référence. J'ai été surpris par les explications disponibles sur le web. La plupart d'entre eux ne correspondaient pas à ce que je cherchais. Ils étaient soit strictement qualitatifs, soit, s'ils étaient quantitatifs, inutilement opaques. Cela résultait principalement du fait d'avoir des diagrammes et des illustrations trop peu ou mal exécutés. Il y avait quelques exceptions notables, et je les ai citées dans la section des références. Comme je n'ai jamais étudié formellement la mécanique céleste, ces sources étaient mes professeurs et m'ont beaucoup aidé à me familiariser avec le problème et ses solutions. Ce que j'ai essayé de faire ici, c'est de tisser ensemble un "Comment faire" relativement convaincant sur la résolution de l'équation de Kepler et le calcul des positions planétaires dans le ciel de la Terre.

Johannes Kepler (1571-1630) était un mathématicien, astronome et copernicien. Il croyait que le Soleil, et non la Terre, se trouvait au centre de l'univers. Il a affiné la vision de Copernic d'un univers héliocentrique (centré sur le Soleil), en en faisant plus qu'une simple théorie concurrente du modèle géocentrique (centré sur la Terre). Sous Kepler, il deviendrait le modèle prédictif supérieur. Dans son ouvrage, Kepler a formulé trois lois du mouvement planétaire, énoncées pour la première fois dans Harmonice Mundi (Harmonies du monde), 1618, et les voici.

1. Les planètes orbitent autour du Soleil sur des orbites elliptiques avec le Soleil centré sur l'un des deux foyers de l'ellipse (Figure 1).

2. Une ligne imaginaire reliant le soleil et une planète balaie des zones égales en des temps égaux au fur et à mesure que la planète se déplace sur son orbite. Une conséquence de ceci est qu'une planète se déplace le plus rapidement lorsqu'elle est la plus proche du Soleil. Newton aura quelque chose à dire à ce sujet.

3. Le carré de la période de l'orbite d'une planète est proportionnel à sa distance du Soleil au cube. Lorsque les unités utilisées pour la distance sont des unités astronomiques (UA) et que le temps est mesuré en années, cette relation peut être écrite explicitement comme une équation reliant la période de la planète P et le demi-grand axe de son orbite a (eq.1).


Les lois de Kepler signifiaient qu'étant donné seulement une poignée de paramètres orbitaux, on pouvait dire où une planète avait été et serait. Pour l'énoncer explicitement, les astronomes utilisent l'équation de Kepler (éq.2).


L'équation de Kepler est une équation transcendantale. Cela signifie qu'il n'y a pas de solution générale. Donc, pour trouver l'emplacement d'une planète à un instant t, nous devons résoudre pour cet instant en utilisant une méthode numérique. Travaillons d'abord avec ce que nous avons. REMARQUE : Vous trouverez peut-être utile de faire référence à la Figure 2 (pop-up) pour vous aider à visualiser certaines des variables référencées ici.

Seul e est indépendant du temps. Nous consultons donc nos paramètres orbitaux pour sa valeur, puis résolvons l'anomalie moyenne (éq.3), M dans l'équation de Kepler (éq.2). L'anomalie moyenne est juste l'angle avec le périhélie que la planète aurait si l'orbite était une ellipse avec une excentricité = 0, c'est-à-dire un cercle. Nous appelons la planète imaginaire se déplaçant le long d'une telle orbite la planète moyenne. Dans un tel cas, la planète se déplacerait avec une vitesse V = (2*PI)/Période .


Nous pouvons maintenant trouver l'anomalie excentrique en utilisant une méthode numérique. Cette simulation utilise des approximations successives. Une fois que nous avons une valeur pour E dont nous sommes satisfaits, nous pouvons trouver la véritable anomalie (eq.4). La véritable anomalie est l'angle RÉEL entre le périhélie et la planète.

De là, il est simple de trouver la distance radiale de la planète (eq.5) au soleil.

Nous avons maintenant les coordonnées polaires de la planète (r, v) dans le plan de son orbite telles que l'axe X pointe du Soleil vers le Périhélie, point P.

Maintenant, nous trouvons les coordonnées écliptiques héliocentriques (x, y, z) de la planète en convertissant les coordonnées polaires en coordonnées cartésiennes et en faisant pivoter le cadre de telle sorte que l'axe X pointe vers le premier point du Bélier.

Nous faisons ensuite pivoter les coordonnées en coordonnées équatoriales héliocentriques (X, Y, Z), en utilisant la matrice ci-dessous.

Cependant, notre affichage montre les positions des planètes depuis la Terre. Nous devons donc basculer notre point de vue sur celui d'un système géocentrique. Pour ce faire, nous répétons d'abord le processus ci-dessus, en résolvant les coordonnées équatoriales héliocentriques de la Terre. Nous voulons connaître les coordonnées géocentriques du Soleil. Nous allons donc ici approximer cela comme l'inverse des coordonnées héliocentriques de la Terre. C'est la même méthode utilisée pour trouver l'emplacement du Soleil pour l'affichage. Il est important de noter, cependant, qu'il ne s'agit que d'une approximation, car ce que nous trouvons réellement n'est pas l'emplacement de la Terre mais plutôt celui du barycentre du système Terre-Lune. Cette simplification est responsable de limiter la précision de la simulation. Remarque : Ce n'est pas un problème pour la simulation Construisez votre propre système solaire pour les enseignants, car la « Terre » hypothétique n'a pas de lune dans cette simulation. On ajoute ensuite les coordonnées géocentriques du Soleil à celles des coordonnées héliocentriques de notre planète. Cela décale les coordonnées, nous donnant les coordonnées équatoriales géocentriques (xp, yp, zp) pour la planète.

Ayant les coordonnées géocentriques de la planète, il est simple de les convertir en ascension droite et déclinaison. Remarque : surveillez les panneaux ici si vous ne faites pas attention, cela deviendra désordonné.

C'est ça. Nous pouvons maintenant résoudre plusieurs fois discrètement et collecter les données dans des tableaux pour construire des éphémérides. Si vous souhaitez trouver des calculs plus précis pour les positions des planètes, envisagez d'acheter une copie de l'Almanach astronomique de l'US Naval Observatory ou d'utiliser le système Horizons du JPL.


Références et lectures complémentaires :

1. À quiconque s'intéresse à la raison pour laquelle les orbites des planètes sont elliptiques, je suggère de trouver une copie de Feynman's Lost Lecture de D. & J. Goodstein : The Motion of Planets Around the Sun. W. W. Norton & Company. New York, NY. 1996.

2. Une copie de Harmonice Mundi (Harmonies du monde) de Kepler ainsi que de nombreux autres textes révolutionnaires en astronomie ont été compilés en un seul ouvrage : Sur les épaules des géants de Stephen Hawking : les grands travaux de la physique et de l'astronomie. Appuyez sur la course. Crême Philadelphia. 2002.

3. Pour ce que j'ai trouvé être la manipulation en ligne la plus rigoureuse de ce matériel, essayez Celestial Mechanics du Dr J. B. Tatum : http://orca.phys.uvic.ca/

tatum/celmechs.html (Lien à jour en avril 2004).

4. Les paramètres orbitaux utilisés ici proviennent de « Planetary Orbital Elements » du JPL Solar System Dynamics Group, JPL Solar System Dynamics : http://ssd.jpl.nasa.gov/elem_planets.html. (Lien à jour en avril 2004).

Nœud ascendant : Le point d'intersection entre l'orbite d'une planète et le plan de l'équateur du Soleil, où la planète se déplace vers le nord (« vers le haut ») à travers le plan de l'équateur du Soleil.

Unités astronomiques (UA): Une mesure de distance où une UA est à peu près égale à la distance moyenne de la Terre au Soleil, 1,49597870691 x 108 (± 3) kilomètres.

Barycentre : Le centre de masse pour un système à plusieurs corps de corps en orbite mutuelle. Le système orbite autour du barycentre.

Sphère céleste : Une gigantesque sphère imaginaire entourant une Terre immobile sur laquelle sont fixées les étoiles. On croyait autrefois que la sphère céleste était réelle. Cependant, il est maintenant considéré uniquement comme un outil descriptif pratique.

Équateur céleste : La projection de l'équateur terrestre sur la sphère céleste.

Copernicien : Celui qui souscrit à la vision du monde copernicienne d'un univers héliocentrique, c'est-à-dire celui qui croit que la Terre tourne autour d'un Soleil fixe.

Déclinaison (DEC) : La position d'un objet céleste dans le ciel mesurée le long d'un méridien en degrés (0 à 90 degrés) au nord (+) ou au sud (-) de l'équateur.

Nœud descendant : Le point d'intersection entre l'orbite d'une planète et le plan de l'équateur du Soleil, où la planète se déplace vers le sud ("vers le bas") à travers le plan de l'équateur du Soleil.

Anomalie excentrique : un terme dépendant du temps dans l'équation de Kepler qui doit être résolu afin de calculer la position d'une planète sur son orbite.

Excentricité : Une mesure de l'« ellipse » d'une éclipse (mesurée de 0 à 1). Par exemple, un cercle a une excentricité nulle, peu elliptique. Une relation peut être établie mathématiquement entre le demi-grand axe a, le demi-petit axe b et l'excentricité e où :

Au-dessus se trouvent quatre ellipses avec des excentricités variables. Le premier est un cercle.

Écliptique : Vu de la Terre, l'écliptique est la trajectoire annuelle du Soleil dans le ciel.

Éphémérides : pluriel d'éphémérides. Tables contenant les positions calculées (généralement RA et DEC) des objets célestes à différentes heures, généralement à intervalles réguliers.

Ellipse : L'une des sections coniques, ces formes qui sont l'intersection d'un cône et d'un plan. L'ellipse est une forme géométrique qui ressemble à un cercle écrasé. Vous pouvez facilement faire une ellipse avec deux punaises et une boucle de ficelle. Placez les deux punaises dans un papier et enroulez la ficelle autour d'elles. Placez un crayon dans la boucle de ficelle et déplacez-le vers l'extérieur jusqu'à ce que la boucle devienne tendue. Déplacez le crayon autour des punaises en gardant toujours le mou hors de la boucle. La figure dessinée est une ellipse. Les points où se trouvent les punaises sont les foyers de l'ellipse (foyer singulier).

Elliptique : En forme d'ellipse.

Premier point du Bélier : La position par rapport aux étoiles de fond du nœud descendant de la Terre vue du Soleil.

Focus : Pluriel de focus. Voir ellipse.

Géocentrique : Terre centrée.

Coordonnées équatoriales géocentriques : Un système de coordonnées X,Y,Z centré sur la Terre dans lequel l'équateur de la Terre se trouve dans le plan X-Y.

Héliocentrique : Soleil centré.

Coordonnées héliocentriques cartésiennes de l'écliptique : Un système de coordonnées X,Y,Z centré sur le Soleil dans lequel l'écliptique se trouve dans le plan X-Y.

Coordonnées cartésiennes équatoriales héliocentriques : Un système de coordonnées X,Y,Z centré sur le Soleil dans lequel l'équateur du Soleil se trouve dans le plan X-Y.

Équation de Kepler : Une équation dérivée des lois de Kepler dont la solution peut spécifier la position d'une planète sur son orbite pendant un temps spécifié étant donné un ensemble de paramètres orbitaux.

Anomalie moyenne : L'angle entre le périhélie et la planète moyenne tel que mesuré dans le plan de son orbite.

Planète moyenne : Une planète imaginaire qui se déplace à une vitesse constante autour d'une orbite circulaire avec un rayon égal au demi-grand axe de l'orbite de la planète réelle.

Méthode numérique : Une méthode pour résoudre des problèmes mathématiques, généralement par ordinateur, par l'utilisation répétée d'opérations arithmétiques simples.

Paramètres orbitaux : Un ensemble de paramètres physiques pour l'orbite d'une planète suffisant pour prédire la position de la planète à un instant t donné. Les paramètres orbitaux utilisés dans la simulation ci-dessus peuvent être trouvés sur : http://ssd.jpl.nasa.gov/elem_planets.html (valable en juin 2004).

Périhélie : Le point le plus proche du Soleil sur l'orbite d'une planète.

Période (d'une planète) : Le temps qu'il faut à une planète pour revenir au même endroit sur son orbite.

PI (): Le rapport de la circonférence d'un cercle C à son diamètre D.

Coordonnées polaires : un moyen de désigner l'emplacement d'un point en utilisant sa distance radiale par rapport à l'origine et l'angle qu'il fait par rapport à l'axe x.

Distance radiale : à quelle distance se trouve quelque chose des axes de coordonnées, mesurée directement à partir des axes.

Mouvement rétrograde : Le mouvement vers l'ouest des planètes par rapport aux étoiles en arrière-plan. Afin de maintenir la position centrale de la Terre et un engagement envers un mouvement circulaire parfait, les géocentristes ont conçu un ensemble d'épicycles (orbites dans les orbites) sur lesquels les planètes tourneraient. Le mouvement de la planète autour de son épicycle a permis la présence d'un mouvement rétrograde. Cependant, le modèle centré sur le Soleil des héliocentristes n'avait pas besoin d'épicycles, car le mouvement rétrograde pouvait être considéré comme une planète dépassant simplement une autre alors qu'elle courait autour du Soleil. Voir Animations.

Ascension droite (RA) : La position d'un objet céleste dans le ciel mesurée en heures : minutes : secondes à l'est (+) ou à l'ouest (-) à partir de l'équinoxe de printemps.

Demi-grand axe : Voir ellipse.

Axe semi-mineur : Voir ellipse.

Approximation successive : Une méthode numérique par laquelle une solution est trouvée à une équation en substituant par suppositions la réponse des deux côtés de l'équation. Les côtés sont évalués et la première supposition qui produit une différence entre les côtés inférieure à une tolérance prédéfinie est considérée comme la réponse.

Équation transcendantale : Une équation pour laquelle une solution générale ne peut pas être trouvée algébriquement car elle contient des fonctions transcendantales (non algébriques).

Vraie Anomalie : L'angle entre le périhélie et la planète tel que mesuré dans le plan de son orbite.

Vecteur : quantité composée à la fois de la direction et de la magnitude (par exemple, la vitesse).

Vitesse : Une mesure du mouvement d'un objet qui inclut à la fois la vitesse et la direction de l'objet.

Équinoxe vernal : à la fois la date (vers le 21 mars) à laquelle le Soleil traverse l'équateur céleste en se déplaçant vers le nord et le point sur le fond des étoiles où cela se produit.


Introduction

Premièrement, il est important que tout le matériel soit préparé et prêt pour cette activité de laboratoire. (Remarque : généralement, j'ai un élève déterminé qui a pour tâche en classe de distribuer tout le matériel nécessaire aux élèves pendant l'activité « Échauffement ».)

Matériel : (chaque élève en reçoit un de chaque)

  • 1 feuille de papier vierge (8,5 x 11 pouces)
  • Crayon (les élèves ne doivent pas utiliser de stylos, car ils ne fonctionnent souvent pas bien lorsqu'ils utilisent la boussole de dessin)
  • Ciseaux
  • Environ 22 cm de ficelle (faites-les déjà couper !)
  • Un morceau de carton épais (des morceaux de carton peuvent être achetés, mais il est généralement tout aussi facile de découper des morceaux de boîtes en carton)
  • Une boussole de dessin
  • 2 punaises
  • Règle métrique
  • Calculatrice

Introduction: [Noter: Veuillez vous référer à la ressource ci-dessous pour les feuilles de notes des étudiants, car ils écriront périodiquement des informations au cours de cette section.]

J'introduis généralement l'activité en préparant tout le matériel de laboratoire sous une caméra pour documents. J'ai ensuite placé une punaise au centre de ma feuille de papier, j'ai bouclé la ficelle autour et j'ai tracé un cercle. Je demande alors très directement aux élèves : « Quelle forme viens-je de dessiner ?

Généralement, ils sont tous capables d'identifier correctement que j'ai tracé un cercle.

Ensuite, je répète la procédure, mais cette fois, j'utilise deux punaises au centre du morceau de papier, dessinant une ellipse. Après l'avoir construit, je pose la même question aux élèves : « Quelle forme viens-je de dessiner ?

Ici, les réponses ont tendance à être mitigées. Souvent, les élèves devineront des choses comme un cercle ou un ovale. Ensuite, j'introduis le concept d'ellipse en expliquant que cette forme, bien que presque circulaire, n'est pas en réalité un cercle. C'est ce que les scientifiques appellent un ellipse. Ensuite, je pose la question : « Qu'est-ce qui différencie un cercle d'une ellipse ?

Encore une fois, les réponses ont tendance à varier, mais les élèves sont généralement capables d'identifier que le cercle a un point central (foyer), tandis que l'ellipse construite en a deux (foyers). Je précise ensuite que ces "points centraux" sont en fait appelés foyers.

Après avoir défini foyers, j'introduis ensuite la relation entre les ellipses et les formes orbitales. J'affirme que : « Tous les objets qui orbitent autour du Soleil peuvent apparaître circulaire pour nous, mais ils ont en fait tous des orbites elliptiques. Tous ces objets qui orbitent autour du Soleil, y compris la Terre, orbitent selon une forme elliptique, avec le Soleil à l'un des foyers. [Noter: Ceci est la première loi de Kepler, bien qu'elle ne soit introduite que dans une leçon ultérieure]

Je demande alors : « Si le Soleil est à l'un des foyers, ce qui est habituellement à l'autre foyers ?"

Je sélectionne une variété de réponses, mais généralement les étudiants comprennent rapidement que l'autre orbite foyers est juste un point dans l'espace - il n'y a rien là-bas.

Je les pointe ensuite vers un exemple d'image (voir Présentation du laboratoire ressource) montrant une illustration d'une orbite elliptique, demander aux élèves de noter les deux foyers. Ensuite, je les pointe vers l'image ci-dessous (voir Présentation du laboratoire ressource), qui a une orbite elliptique avec deux parties supplémentaires étiquetées, la "distance entre les foyers" et la "longueur du grand axe". Nous définissons ensuite collectivement le grand axe comme la "distance entre les orbites qui passent par les deux foyers".

"Mais la partie intéressante est que nous pouvons réellement voir comment elliptique l'orbite de chaque planète est. En utilisant la même équation algébrique que les astronomes utilisent, nous pouvons comprendre l'orbite excentricité de chaque planète. L'excentricité est en fait à quel point l'orbite d'une planète est elliptique ou en forme de cercle. Nous pouvons le calculer à l'aide d'une équation. L'équation elle-même est énumérée ci-dessous (voir Présentation du laboratoire ressource), mais il s'agit en fait d'un rapport entre la distance entre les deux foyers et la longueur du grand axe (HSA-CED.A.2 HSA-CED.A.4)."

Ensuite, nous faisons un exemple rapide :

"Regardons l'ellipse que j'ai dessinée pour vous plus tôt en classe. Je peux utiliser ma règle métrique pour mesurer la distance entre les foyers, qui est le numérateur ("") dans mon équation d'excentricité. Ensuite, je peux aussi utiliser ma règle métrique pour mesurer la longueur du grand axe, qui est le dénominateur ("L") dans mon équation d'excentricité. Ensuite, je peux utiliser ma calculatrice (Noter: Demandez aux élèves d'arrondir au millième lorsqu'ils entrent ces nombres dans la calculatrice) pour déterminer "e", qui est l'excentricité orbitale.


Les lois du mouvement planétaire

Première loi de Kepler :

La première loi de Kepler est illustrée dans l'image ci-dessus. Le Soleil n'est pas au centre de l'ellipse, mais à un foyer (généralement il n'y a rien à l'autre foyer de l'ellipse). La planète suit alors l'ellipse sur son orbite, ce qui signifie que la distance Terre-Soleil change constamment au fur et à mesure que la planète tourne autour de son orbite. À des fins d'illustration, nous avons montré l'orbite comme étant plutôt excentrique, rappelez-vous que les orbites réelles sont beaucoup moins excentriques que cela.

Deuxième loi de Kepler :

II. La ligne reliant la planète au Soleil balaie des zones égales en des temps égaux à mesure que la planète se déplace autour de l'ellipse.

La deuxième loi de Kepler est illustrée dans la figure précédente. La ligne joignant le Soleil et la planète balaie des zones égales en des temps égaux, de sorte que la planète se déplace plus rapidement lorsqu'elle est plus près du Soleil. Ainsi, une planète exécute un mouvement elliptique avec une vitesse angulaire en constante évolution au fur et à mesure qu'elle se déplace sur son orbite. Le point d'approche le plus proche de la planète au Soleil est appelé périhélie le point de plus grande séparation est appelé aphélie. Par conséquent, selon la deuxième loi de Kepler, la planète se déplace le plus rapidement lorsqu'elle est proche du périhélie et le plus lentement lorsqu'elle est proche de l'aphélie.

Troisième loi de Kepler :

Dans cette équation, P représente la période de révolution (orbite) d'une planète autour du soleil et R représente la longueur de son demi-grand axe. Les indices "1" et "2" distinguent les quantités pour les planètes 1 et 2 respectivement. Les périodes pour les deux planètes sont supposées être dans les mêmes unités de temps et les longueurs des demi-grands axes pour les deux planètes sont supposées être dans les mêmes unités de distance.

Voici une applet java vous permettant d'étudier les lois de Kepler, et voici une animation illustrant les périodes relatives réelles des planètes intérieures.


Détails de l'activité

  • Sujets:MATHÉMATIQUES
  • Les types:ENSEMBLE DE PROBLÈMES, MOMENTS ENSEIGNABLES
  • Niveaux scolaires :9 - 12
  • Sujet principal :RÉSOLUTION DE PROBLÈME
  • Sujets supplémentaires :
    ALGÈBRE
    GÉOMÉTRIE
    MOUVEMENT ET FORCES
    SCIENCES PHYSIQUES
    MOMENTS ENSEIGNABLES
  • Temps requis: 30 min - 1 h
  • Normes scientifiques de nouvelle génération (site Web)

Utiliser des représentations mathématiques ou informatiques pour prédire le mouvement des objets en orbite dans le système solaire

(+) Déduire les équations des ellipses et des hyperboles compte tenu des foyers, en utilisant le fait que la somme ou la différence des distances aux foyers est constante.


2 réponses 2

Combien de temps faut-il pour que trois planètes atteignent la même position relative ?

La réponse est jamais, sauf dans le cas où leurs périodes orbitales peuvent être exprimées avec des nombres entiers faibles, comme la résonance 4:2:1 de Io, Europa et Ganymède

Cependant, ce que vous demandez, c'est quand ils seront en presque la même position à nouveau, une période quazi.

Pour trouver ces périodes, il ne nous reste pratiquement plus que le forçage brut comme méthode. Un petit détail intéressant sur le cas des trois planètes est que la planète intérieure est toujours alignée avec l'une des autres aux alignements les plus proches des trois planètes. Cela nous permet de calculer des solutions précises. Dans le cas de quatre ou même cinq planètes, j'abandonne tout simplement.

Pour vérifier toutes les possibilités, nous pouvons utiliser un programme. Voici un exemple de fonction en JavaScript renvoyant une liste de périodes quazi et d'erreur d'alignement :

Pour Jupiter, Saturne et Uranus, j'obtiens la sortie suivante :

13.81170069444156. 0.30449020900657225
39.71676854387252. 0.12441143762575813
41.43510208332468. 0.08652937298028318
139.00868990355383. 0.06455996830984656
138.1170069444156. 0.04490209006572288
179.55210902774027. 0.041627282914560304
317.6691159721559. 0.0032748071511630172
3991.581500693611. 0.002329597100612091
4309.250616665767. 0.0009452100505313865

The first of this periods is of no use, as the error in alignment is almost a third of an orbit. Note that the one you found (that is really impressive you did,actually) gives an error in the alignment of less than a percent. We have to look at periods more than a thousand years long to find any better alignment.


Kepler&rsquos Second Law

Kepler&rsquos Second Law is based on the speed of the object as it orbits.

  • In the Earth-Sun example shown in Figure 2, the Earth will travel faster and faster as it gets closer to the sun.
  • As the Earth moves away from the sun, it will move slower and slower.
  • It&rsquos almost like the Earth is being &ldquoslingshot&rdquo around the sun very quickly as it passes near it.

Kepler didn&rsquot talk about speed when he wrote out his second law . Instead, he looked at a mathematical detail that pops out because we are talking about ellipses.

&ldquoAn imaginary line from the sun to the planet
sweeps out equal areas in equal times.&rdquo

If we were to look at the area the Earth sweeps out in a 15 day period, first when close to the sun (Figure 3) and then when far away (Figure 4 ), we would get diagrams that look like this.

Notice how in Figure 3 we have a stubby, fat, (basically) triangular area that was swept out by the line, but in Figure 4 we have a tall, thin, (basically) triangular area swept out.

  • If we calculate the area that I have (more or less) shaded in as triangles, you would find that they are equal.
  • This just shows that the planet is moving a lot faster when it is closer to the sun, since you can see that it traveled a greater distance along its orbit during that time.

How to calculate center (not focus) of planetary orbit? - Astronomie

When planning deep space missions it is obvious that accurate positions of the planets must be known to plot the interplanetary trajectories. The computational methods presented in this page are those described by Jean Meeus in his book Astronomical Formulae for Calculators, Fourth Edition, Willmann-Bell Inc., 1988.

Julian Date (JD) is the system of time measurement for scientific use by the astronomy community. It is the interval of time in days and fractions of a day since 4713 BC January-1 Greenwich noon. The Julian day begins at Greenwich mean noon, that is at 12:00 Universal Time (UT).

To convert a calendar date to Julian Date, perform the following steps:

Y = year
M = month
D = day (includes hours, minutes & seconds as fraction of day)

If the date is equal to or after 1582-Oct-15 (i.e. the date is in the Gregorian calendar), calculate

A = INT( Y / 100 )
B = 2 &ndash A + INT( A / 4 )

If the date is before 1582-Oct-15 (i.e. the date is in the Julian calendar), it is not necessary to calculate A and B.

JD = INT(365.25 × Y) + INT(30.6001 × (M + 1)) + D + 1720994.5 + B

where B is added only if the date is in the Gregorian calendar.

Calculate the JD corresponding to 1976-July-20, 12:00 UT.

A = INT(1976 / 100) = 19
B = 2 &ndash 19 + INT( 19 / 4 ) = &ndash13

The orbital elements of the major planets can be expressed as polynomials of the form

T is the time measured in Julian centuries of 36525 ephemeris days from the epoch 1900 January 0.5 ET = JD 2415020.0. In other words,

This quantity is negative before the beginning of the year 1900, positive afterwards. Note that T is expressed in centuries, and thus should be taken with a sufficient number of decimals (at least nine).

L = mean longitude of the planet
a = semimajor axis of the orbit (this element is a constant for each planet)
e = eccentricity of the orbit
i = inclination on the plane of the ecliptic
w = argument of perihelion
W = longitude of ascending node

The longitude of the perihelion can be calculated from

and the planet's mean anomaly is

The perihelion and aphelion distances are

The quantities L and p are measured in two different planes, namely from the vernal equinox along the ecliptic to the orbit's ascending node, and then from this node along the orbit.

Table 1 gives the coefficients uneje for the orbital elements of the major planets Mercury to Neptune. The elements for Earth are not given in Table 1.

TABLE 1
Elements for the mean equinox of the date
une0 une1 une2 une3
MERCURE
L 178.179 078 +149 474.070 78 +0.000 3011
une 0.387 0986
e 0.205 614 21 +0.000 020 46 &ndash0.000 000 030
je 7.002 881 +0.001 8608 &ndash0.000 0183
w 28.753 753 +0.370 2806 +0.000 1208
W 47.145 944 +1.185 2083 +0.000 1739
VÉNUS
L 342.767 053 +58 519.211 91 +0.000 3097
une 0.723 3316
e 0.006 820 69 &ndash0.000 047 74 +0.000 000 091
je 3.393 631 +0.001 0058 &ndash0.000 0010
w 54.384 186 +0.508 1861 &ndash0.001 3864
W 75.779 647 +0.899 8500 +0.000 4100
MARS
L 293.737 334 +19 141.695 51 +0.000 3107
une 1.523 6883
e 0.093 312 90 +0.000 092 064 &ndash0.000 000 077
je 1.850 333 &ndash0.000 6750 +0.000 0126
w 285.431 761 +1.069 7667 +0.000 1313 +0.000 004 14
W 48.786 442 +0.770 9917 &ndash0.000 0014 &ndash0.000 005 33
JUPITER
L 238.049 257 +3036.301 986 +0.000 3347 &ndash0.000 001 65
une 5.202 561
e 0.048 334 75 +0.000 164 180 &ndash0.000 000 4676 &ndash0.000 000 0017
je 1.308 736 &ndash0.005 6961 +0.000 0039
w 273.277 558 +0.559 4317 +0.000 704 05 +0.000 005 08
W 99.443 414 +1.010 5300 +0.000 352 22 &ndash0.000 008 51
SATURNE
L 266.564 377 +1223.509 884 +0.000 3245 &ndash0.000 0058
une 9.554 747
e 0.055 892 32 &ndash0.000 345 50 &ndash0.000 000 728 +0.000 000 000 74
je 2.492 519 &ndash0.003 9189 &ndash0.000 015 49 +0.000 000 04
w 338.307 800 +1.085 2207 +0.000 978 54 +0.000 009 92
W 112.790 414 +0.873 1951 &ndash0.000 152 18 &ndash0.000 005 31
URANUS
L 244.197 470 +429.863 546 +0.000 3160 &ndash0.000 000 60
une 19.218 14
e 0.046 3444 &ndash0.000 026 58 +0.000 000 077
je 0.772 464 +0.000 6253 +0.000 0395
w 98.071 581 +0.985 7650 &ndash0.001 0745 &ndash0.000 000 61
W 73.477 111 +0.498 6678 +0.001 3117
NEPTUNE
L 84.457 994 +219.885 914 +0.000 3205 &ndash0.000 000 60
une 30.109 57
e 0.008 997 04 +0.000 006 330 &ndash0.000 000 002
je 1.779 242 &ndash0.009 5436 &ndash0.000 0091
w 276.045 975 +0.325 6394 +0.000 140 95 +0.000 004 113
W 130.681 389 +1.098 9350 +0.000 249 87 &ndash0.000 004 718

Calculate the orbital elements of Mars on 1976-July-20, 12:00 UT.

From our previous calculation we have JD 2442980.0 therefore,

T = (2442980.0 &ndash 2415020.0) / 36525 = 0.765503080

Consequently, from Table 1, we find

L = 293.737334 + (19141.69551 × 0.765503080) + (0.0003107 × 0.765503080 2 ) = 14946.764387 o = 186.764387 o

a = 1.5236883 AU
e = 0.093383330
i = 1.849824 o
w = 286.250750 o
W = 49.376635 o

The longitude of perihelion and the mean anomaly are,

p = 286.250750 + 49.376635 = 335.627385 o
M = 186.764387 &ndash 335.627385 = &ndash148.862998 = 211.137002 o

Since the plane of the ecliptic is the plane of Earth's orbit around the Sun, for Earth je = 0. The angles w and W are, therefore, not determined. The semimajor axis of Earth is une = 1.0000002 AU. The remaining orbital elements are calculated as follows:

L = 99.69668 + 36000.76892 T + 0.0003025 T 2

e = 0.01675104 &ndash 0.0000418 T &ndash 0.000000126 T 2

M = 358.47583 + 35999.04975 T &ndash 0.000150 T 2 &ndash 0.0000033 T 3

Calculate the orbital elements of Earth on 1976-July-20, 12:00 UT.

L = 99.69668 + (36000.76892 × 0.765503080) + (0.0003025 × 0.765503080 2 ) = 27658.396351 o = 298.396351 o

a = 1.0000002 AU
e = 0.016718968
M = 195.859204 o

p = 298.396351 &ndash 195.859204 = 102.537147 o

From the values of e et M, calculate the eccentric anomaly E de

The above is a transcendental equation in E that must be solved by iteration. It is also important that the angles M et E be expressed in radians. The equation can be solved in degrees if we replace e with eo = e × 180/ p , giving us

Then calculate the true anomaly n from

tan( n /2) = [ (1 + e) / (1 &ndash e) ] 1/2 × tan(E/2)

The radius vector of the planet can be calculated by one of the following

r = a × ( 1 &ndash e 2 ) / ( 1 + e × cos n )

The planet's argument of latitude is

The ecliptical longitude l can be deduced from ( l &ndash W ), which is given by

Si je o , as for the major planets, ( l &ndash W ) and u must lie in the same quadrant. When a programmable calculator or computer is used, in order to avoid the use of other tests, the preceding formula can be better written as

tan( l &ndash W ) = cos i × sin u / cos u

and then the conversion from rectangular to polar coordinates should be applied to the numerator and the denominator of the fraction in the right-hand side. This will give ( l &ndash W ) directly in the correct quadrant.

The planet's ecliptic latitude b is given by

We have now obtained the heliocentric ecliptical coordinates l , b , and r of the planet for the given instant.

Calculate the heliocentric ecliptical coordinates of Mars on 1976-July-20, 12:00 UT.

As previously calculated, we have

L = 186.764387 o
a = 1.5236883 AU
e = 0.093383330
i = 1.849824 o
w = 286.250750 o
W = 49.376635 o
p = 335.627385 o
M = 211.137002 o

Following the steps outlined above, we have

eo = 0.093383330 × 180/ p = 5.3504707

E = 211.137002 + 5.3504707 × sin E
E = 208.577611 o

tan( n /2) = [ (1 + 0.093383330) / (1 &ndash 0.093383330) ] 1/2 × tan(208.577611 / 2)
n = 206.114239 o

r = 1.5236883 × ( 1 &ndash 0.093383330 × cos 208.577611 ) = 1.648641 AU

u = 186.764387 + 206.114239 &ndash 211.137002 &ndash 49.376635 = 132.364988 o

tan( l &ndash 49.376635) = cos 1.849824 × sin 132.364988 / cos 132.364988
l = 181.756494 o

sin b = sin 132.364988 × sin 1.849824
b = 1.366666 o

A perturbation is a disturbance in the regular and usually elliptical course of motion of a celestial body that is produced by some force additional to that that causes its regular motion. The most important perturbations in the motions of the major planets are caused by the gravitational influence of other planets. These perturbations must be accounted for if better accuracy is needed than that attainable using the above data alone. The perturbations in the motions of the giant planets are particularly important in longitude, they can be larger than 0.3 degree for Jupiter, and larger than 1.0 degree for Saturn.

Since the purpose of this web site is to provide only a basic understanding of interplanetary space flight, the extra accuracy attained by taking into account the principle perturbations is unnecessary. The planetary positions derived by the methods described above are adequate for illustrative and education purposes.

In order to calculate an accurate position of the Moon, it is necessary to take into account des centaines of periodic terms in the Moon's longitude, latitude and parallax. In his book, Jean Meeus presents a rigorous method for calculating the Moon's position, however he limits his solution to about 100 of the most important periodic terms, being satisfied with a small inaccuracy. However, even this less accurate solution is too cumbersome to present here. Fortunately, Meeus provides suggestions to simplify the method to produce a low accuracy solution. The accuracy appears to be about ± 0.3 o in longitude, ± 0.1 o in latitude, and ± 0.01 o in parallax.

Using the method described below, one obtains the geocentric longitude l and the geocentric latitude b of the center of the Moon, referred to the mean equinox of the date. If necessary, l and b can be converted to right ascension a and declination d using the following formulae.

tan a = ( sin l cos e &ndash tan b sin e ) / cos l

sin d = sin b cos e + cos b sin e sin l

where e , the obliquity of the ecliptic, is
e = 23.452294 &ndash 0.0130125 T &ndash 0.00000164 T 2 + 0.000000503 T 3

The equatorial horizontal parallax p of the Moon too is obtained. When the parallax p is known, the distance between the centers of Earth and Moon, in kilometers, can be found from

For the given instant, calculate the JD and then T by means of the formula previous presented. Then calculate the angles L', M, M', D and F by means of the following formulae, in which the various constants are expressed in degrees and decimals.

Moon's mean longitude:
L' = 270.434164 + 481267.8831 × T

Sun's mean anomaly:
M = 358.475833 + 35999.0498 × T

Moon's mean anomaly:
M' = 296.104608 + 477198.8491 × T

Moon's mean elongation:
D = 350.737486 + 445267.1142 × T

Mean distance of Moon from its ascending node:
F = 11.250889 + 483202.0251 × T

With the values of L', M, M', D and F calculated, l , b and p can be obtained by means of the following expressions where, again, all the coefficients are given in degrees and decimals.

l = L' + 6.288750 sin M'
+ 1.274018 sin(2D&ndashM')
+ 0.658309 sin 2D
+ 0.213616 sin 2M'
&ndash 0.185596 sin M
&ndash 0.114336 sin 2F

b = 5.128189 sin F
+ 0.280606 sin(M'+F)
+ 0.277693 sin(M'&ndashF)
+ 0.173238 sin(2D&ndashF)
+ 0.055413 sin(2D+F&ndashM')
+ 0.046272 sin(2D&ndashF&ndashM')

p = 0.950724
+ 0.051818 cos M'
+ 0.009531 cos(2D&ndashM')
+ 0.007843 cos 2D
+ 0.002824 cos 2M'
+ 0.000857 cos(2D+M')

Calculate the geocentric coordinates and parallax of the Moon on 1968-December-24, 10:00 UT.

Using the previously demonstrated method,

JD = 2440214.9167, T = 0.689799224

Using the above equations for angles L', M, M', D and F, we have

L' = 328.646595 o
M = 350.592460 o
M' = 67.500542 o
D = 55.647457 o
F = 323.632971 o

The Moon's longitude is L' plus the sum of the periodic terms

l = 328.646595
+ 5.810070
+ 0.881713
+ 0.613362
+ 0.151046
+ 0.030337
+ 0.109184

b = &ndash2.480685 o
p = 0.9717311 o

The distance to the Moon is,

D = 6378.14 / sin 0.9717311 = 376,090 km

Converting geocentric ecliptical coordinates to right ascension and declination, we have

e = 23.443317 o
a = 331.29323 o = 22 h 5 m 10.4 s
d = &ndash14.41295 o

The angular separation distance between two celestial bodies, whose longitudes and latitudes are known, is given by the formula

In a previous example, we found that the coordinates of Mars on 1976-July-20 12:00 UT are

l = 181.756494 o , b = 1.366666 o

We're given that on the same date and time the coordinates of Earth are

The angular separation between the planets is

cos d = sin 1.366666 × sin 0 + cos 1.366666 × cos 0 × cos(181.756494 &ndash 297.883130)
d = 116.118642 o