Astronomie

Calcul de l'amplitude de marée radiale sur une planète à partir des nombres d'amour fluides

Calcul de l'amplitude de marée radiale sur une planète à partir des nombres d'amour fluides

Comment calculez-vous les amplitudes des marées à partir des nombres de Love fluides ? Dans mon cours de physique planétaire, j'ai vu une expression approximative du déplacement de la marée d'équilibre :

$$Gros|frac{V_T}{g}Gros| approx frac{3}{4}frac{M_odot R_p^4}{M_p a^3}$$

$V_T$ est le potentiel de génération de marée, $g$ est la gravité, $M_p$ est la masse de la planète, $R_p$ le rayon et $a$ est le demi-grand axe de l'orbite. Le déplacement serait alors $xi = hfrac{V_T}{g}$. Cela ne fait pas de distinction entre les amplitudes radiales à l'équateur ou aux pôles. Je demande parce que je lisais cet article. J'espérais que l'amplitude radiale correspondrait à ma formule ci-dessus (donnée sans référence ni dérivation), mais avec un nombre d'amour h = 0,77 j'obtiens $xi = 0.64$m au lieu de $xi = 1,93$m.

Le potentiel de marée dans mes notes est $$V_T(r) = -frac{GM}{a}Big(frac{r}{a}Big)^2(1 + 3ecos(M))Big[-frac{1 }{2}P_2^0(cos heta) + frac{1}{4}P_2^2(cos heta)(cos(2lambda) + 4esin(M)sin(2 lambda)Gros] $$ $e$ est l'excentricité, la $P$ sont des polynômes de Legendre : $P_2^0 = frac{1}{2}(3cos^2 heta - 1)$ et $P_2^2 = 3sin^3 heta$. $lambda$ est la longitude mesurée par rapport au grand axe de la planète. J'ai un peu joué avec cette formule, mais je ne trouve jamais une amplitude de 1,93. Il se peut que ce ne soit tout simplement pas ce que l'on entend par "amplitude" radiale.

Le fait qu'aucune méthode de calcul ne soit mentionnée dans l'article me fait penser que c'est soit vraiment évident, soit vraiment bien connu.


Récupération du nombre d'amour fluide k2 dans les courbes de transit exoplanétaire

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1 Deutsches Zentrum für Luft- und Raumfahrt Rutherfordstraße 2, D-12489 Berlin, Allemagne [email protected]

2 Technische Universität Berlin Straße des 17. Juni 135, D-10623 Berlin, Allemagne

3 Freie Universität Berlin Kaiserswertherstraße 16-18, D-14195 Berlin, Allemagne

Reçu le 17 décembre 2018
Révisé le 7 mai 2019
Accepté le 7 mai 2019
Publié le 20 juin 2019

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Résumé en langage clair

En raison de la proximité du Soleil, les marées sont élevées sur Mercure de la même manière que la Lune provoque les marées océaniques sur Terre. Bien que la surface de Mercure soit rigide, un gros noyau fluide provoque un raz de marée se propageant autour de la planète. En utilisant les résultats de la mission MESSENGER de la NASA, nous calculons que la surface devrait également se déformer d'environ 20 cm à 2,40 m lors de chaque orbite de Mercure autour du Soleil. Il s'agit d'une amplitude qui pourrait être détectée avec un altimètre laser, l'un des instruments à bord de la prochaine mission BepiColombo. Nous montrons comment la structure intérieure de la planète, en particulier la taille d'un noyau solide interne, peut être contrainte par la mesure des marées. Ce résultat nous aidera à mieux comprendre l'évolution de Mercure et à contraindre les modèles expliquant la génération de champ magnétique dans le noyau de fer de Mercure.


1. Introduction

[2] Mercure a une forme, une gravité et des caractéristiques tectoniques à l'échelle mondiale qui sont vraisemblablement liées à sa formation et à son évolution précoce, et qui restent mal comprises. Maintenant que le vaisseau spatial MESSENGER prend de nouvelles données [ Salomon et al., 2008 ], il convient de réévaluer les contraintes que ces caractéristiques à l'échelle mondiale imposent à l'histoire de Mercure. Ce faisant, nous nous appuierons sur des analyses basées sur les observations de Mariner 10 (détaillées ci-dessous) ainsi que sur des développements théoriques plus récents concernant la gravité globale et la tendance à réorienter des corps déformés par marée et rotation [par exemple, Garrick-Bethell et al., 2006 Matsuyama et Nimmo, 2007 , 2008 ]. Nous conclurons que le champ de gravité de Mercure et bon nombre de ses caractéristiques tectoniques ont été générés au cours d'une époque précoce où son taux de rotation déclinait par rapport à un taux initialement rapide, et qui impliquait un véritable événement de dérive polaire entraîné par la formation d'un excès de masse Bassin de Caloris.

[3] Le reste de cet article est organisé comme suit. Le reste de la section 1 résumera les travaux pertinents dans le domaine, tandis que la section 2 examinera comment les changements d'excentricité orbitale, de demi-grand axe, de vitesse de rotation planétaire et d'orientation des pôles affectent la forme, la gravité et les schémas de contrainte à l'échelle mondiale. La section 3 examine comment les caractéristiques gravimétriques et tectoniques observées contraignent lequel de ces effets est susceptible d'avoir joué un rôle. La section 4 discute des implications de notre scénario préféré (un taux de rotation initial élevé et un événement de réorientation ultérieur) et fait des prédictions qui peuvent être testées avec des observations MESSENGER. Enfin, le détail de nos calculs est présenté en annexe.

[4] La résonance spin-orbite actuelle de Mercure 3:2 s'est probablement produite lorsque le taux de rotation initial de la planète a diminué à cause des marées solaires [par exemple, Peale, 1988 ], bien que la façon dont la capture dans cette résonance particulière s'est produite dépend de la nature mal comprise de la dissipation au sein de Mercure. Il est peu probable que la dissipation au sein de Mercure ait été suffisante pour avoir considérablement réduit son excentricité (actuel e = 0,205), qui est forcé à des valeurs élevées par des perturbations séculaires [ Murray et Dermott, 1999 ]. Il est également peu probable que la dissipation à l'intérieur du Soleil ait affecté de manière significative son demi-grand axe.

[5] Les survols de Mariner 10 ont fourni des contraintes sur les coefficients de gravité de degré 2 de la planète [ Anderson et al., 1987 ]. La télémétrie radar a fourni des mesures de forme globale autour de l'équateur [ Anderson et al., 1996 ], et un seul profil altimétrique MESSENGER a donné une ellipticité équatoriale identique, avec une erreur [ Zuber et al., 2008 ]. L'ellipticité équatoriale a été interprétée avec le coefficient de gravité équatorial de degré 2 pour déduire une croûte épaisse (100-300 km) [ Anderson et al., 1996 ]. Estimations de l'épaisseur de la croûte à partir d'études de relaxation [par exemple, Watters et al., 2005 Nimmo et Watters, 2004 ] donnent des valeurs à l'extrémité inférieure de cette fourchette.

[6] Mercure présente un modèle global de caractéristiques tectoniques [ Melosh et McKinnon, 1988 Watters et Nimmo, 2008 ]. On pense que la plupart de ces caractéristiques (escarpements lobés et crêtes ridées) sont d'origine compressive, ce qui équivaut à une contraction radiale de <1 km [ Watters et al., 1998 ], bien que l'orientation et la distribution non uniformes de ces caractéristiques puissent indiquer que les contraintes à l'échelle régionale ou non isotropes sont importantes [ Watters et al., 2004 ]. Une contraction devrait survenir à la suite de la solidification du noyau [ Salomon, 1976 ], tandis que la désorientation et la réorientation peuvent également avoir joué un rôle [ Melosh et McKinnon, 1988 Watters et Nimmo, 2008 ].

[7] La ​​caractéristique la plus spectaculaire sur Mercure est le bassin d'impact Caloris [par exemple, Murchie et al., 2008 ]. Il existe au moins deux manières pour un tel bassin d'impact de générer des caractéristiques tectoniques. Premièrement, sa formation (peut-être combinée avec la mise en place des plaines volcaniques environnantes) et son remplissage et relaxation ultérieurs pourraient générer des caractéristiques tectoniques locales [par exemple, Melosh et McKinnon, 1988 Watters et al., 2005 Kennedy et al., 2008 ]. Deuxièmement, à moins que Caloris n'ait été exactement compensé isostatiquement, cela aurait provoqué une réorientation planétaire [par exemple, Meloch et Dzusirin, 1978a Willemann, 1984 ], qui à son tour génère des contraintes tectoniques globales [ Mélosh, 1980 ]. Il est généralement admis que Caloris représente un excès de masse, similaire aux concentrations de masse sur la Lune [ Muller et Sjögren, 1968 ]. Cependant, l'emplacement de la charge pourrait être soit à l'intérieur du bassin, et responsable des caractéristiques de compression là-bas [ Melosh et McKinnon, 1988 ], ou il pourrait s'agir d'un anneau de plaines volcaniques mis en place autour du bassin [ Melosh et Dzurisin, 1978b ]. Melosh et Dzurisin [1978a] et Willemann [1984] ont utilisé l'emplacement de Caloris et les coefficients de gravité de degré 2 pour déduire les limites inférieure et supérieure de l'épaisseur de remplissage annulaire non compensée de 0,4 et 5 km, respectivement. Nous traitons le problème du chargement et de la réorientation de Caloris en détail ci-dessous.

[8] La quantité de réorientation dépend de l'état de compensation, et donc de l'épaisseur élastique effective Te de la caractéristique en question. Mesures directes de Te pour Mercure sont actuellement indisponibles. Sur la base des profondeurs de failles inférées, Nimmo et Watters [2004] obtenu Te valeurs de 25 à 30 km au moment de la formation des escarpements lobés. Si Caloris est entouré de ∼1 km de matériau non compensé, alors l'épaisseur élastique doit avoir été ∼100 km au moment du chargement [ Watters et Nimmo, 2008 ]. Une conclusion similaire a été tirée par Melosh et McKinnon [1988] sur la base de la présence d'extension au sein de Caloris, et de failles de chevauchement équatoriales. Il semble probable que les variations spatiales ou temporelles de Te sont en cours d'enregistrement.


3. Marées dynamiques dans une planète géante gazeuse

En suivant notre modèle simplifié des marées dynamiques, nous calculons Δk2 dans un modèle de type Jupiter sans noyau, chimiquement homogène et adiabatique. L'état thermique devient presque adiabatique dans une planète fluide de convection de composition homogène. Du point de vue des calculs de marée, l'écart par rapport à l'adiabaticité est négligeable à l'intérieur car la suradiabaticité requise pour maintenir la convection est une infime fraction du gradient de température adiabatique, malgré les inhibitions possibles résultant de la rotation et de la convection. Une parcelle de fluide dans un intérieur adiabatique qui est déplacée adiabatiquement par une perturbation de marée se retrouvera dans un nouvel état qui est essentiellement inchangé en densité et en température par rapport à l'état non perturbé à cette pression. Cette définition de la stabilité neutre commence à s'effriter près de la photosphère, où la densité est faible et la constante de temps radiative n'est plus énorme pour les blobs dont la dimension spatiale est de l'ordre de la hauteur d'échelle. Cependant, cette région ne représente qu'une infime fraction de la planète et ne produit pas assez de gravité pour modifier de manière significative la partie réelle du nombre d'Amour. k. Nous discutons des contributions hypothétiques à k à partir d'un noyau et d'une composition chimique variant en profondeur dans la section 4.

Afin de simplifier les arguments présentés dans cette section, nous nous concentrons principalement sur le nombre d'Amour à = m = 2, communément appelé k2. En conséquence, k2 est forcée par la composante de degré 2 de l'attraction gravitationnelle :

Échelle des effets dynamiques avec le satellite dépendant ω. Nous nous concentrons sur les effets dynamiques causés par Io, le satellite galiléen avec l'attraction gravitationnelle dominante sur Jupiter.

3.1. Une géante gazeuse non rotative

Avec une excellente approximation, les marées dynamiques dans une planète non rotative représentent la réponse forcée de la planète dans le mode fondamental normal d'oscillation (F-mode Vorontsov et al. 1984). Bien que Cassini suggère que les harmoniques de mode normal d'ordre supérieur (p-modes) dominent le champ gravitationnel des modes normaux à oscillation libre de Saturne (Markham et al. 2020), la réponse forcée des modes normaux dépend du couplage de l'attraction gravitationnelle et de la fonction propre radiale du mode. La réponse forcée du p-modes contribue de manière négligeable au champ gravitationnel des marées dynamiques (Vorontsov et al. 1984) en raison du mauvais couplage entre la composante radiale à nœud zéro de l'attraction gravitationnelle et la p-fonctions propres des modes, ces derniers ayant un ou plusieurs nœuds radiaux. Inversement, l'attraction gravitationnelle excite plus efficacement F-modes, dont les fonctions propres radiales suivent approximativement l'échelle radiale de l'attraction gravitationnelle (∝ r ).

3.1.1. L'analogie de l'oscillateur harmonique

Dans ce qui suit, nous utilisons l'oscillateur harmonique forcé comme modèle analogique pour forcer les marées F-modes. Dans ce modèle, la correction dynamique fractionnaire à k2 acquiert une forme analytique simple. L'équation du mouvement d'une masse M connecté en mouvement harmonique à un ressort de raideur et de dissipation négligeable est

ω est la fréquence de forçage et F T est le forçage des marées. le F-les modes oscillent à des fréquences ω0 qui sont beaucoup plus élevées que la fréquence de marée de forçage, ce qui signifie que les résonances de marée avec F-les modes sont hautement improbables. En supposant que les effets dynamiques sont faibles de sorte que le forçage de marée est principalement équilibré par des effets statiques (c'est-à-dire, ), le déplacement de la masse est

La masse prend la position d'équilibre statique vouss car la fréquence de forçage tend vers zéro. Le déplacement vous est analogue au nombre d'amour k ainsi, la correction dynamique fractionnaire devient

3.1.2. Le sans Coriolis m = 1 polytrope

Pour vérifier l'analogie de l'oscillateur harmonique forcé à la marée forcée F-modes, on calcule la réponse de marée d'un m = 1 polytrope directement à partir des équations régissant les marées. Lorsque = 0, l'équation déterminante (14) se réduit à

Pour le potentiel ψ à = m = 2, la condition aux limites à la limite extérieure r = Rp (Équation (17)) est

Pour le même degré et le même ordre, la continuité du potentiel gravitationnel et de son gradient à la frontière externe nécessite

Au centre de la planète r = r0 → 0, on trouve l'échelle suivante : ∇ 2 0

0, et . Un potentiel fini ψ satisfaisant l'équation (23) est ψ2

De même, un potentiel gravitationnel fini des marées dynamiques est au centre de la planète, satisfaisant

Nous calculons la correction dynamique fractionnaire à k2 en projetant d'abord les équations de marée en harmoniques sphériques (annexe B) ​​et en résolvant plus tard les potentiels pertinents à l'aide d'une méthode numérique pseudospectrale de Chebyshev (annexe C). Après avoir projeté les équations (15) et (23) en harmoniques sphériques, on obtient deux équations découplées pour les parties radiales des potentiels ψ et (Annexe B.1). Après avoir résolu numériquement les équations radiales de l'annexe B.1 en utilisant l'attraction gravitationnelle de Io (ωs ≈ 42 μHz) la correction dynamique fractionnaire correspond àk2 ≈ 1,2%, en accord étroit avec l'analogie de l'oscillateur harmonique forcé appliquée à la fréquence d'oscillation du degré-2 F-mode ω0 ≈ 740 μHz (Vorontsov et al. 1976). On observe un accord similaire entre l'oscillateur harmonique et l'oscillateur sans Coriolis m = 1 polytrope aux harmoniques sphériques de degré supérieur (tableau 1). Nos résultats sont en accord avec une correction fractionnaire précédemment rapportée du coefficient gravitationnel C2,2k2 en raison des marées dynamiques dans un Jupiter non tournant (Vorontsov et al. 1984).

Tableau 1. Correction dynamique fractionnelle induite par Io Δk dans un Jupiter sans Coriolis

Oscillateur harmonique m = 1 polytrope
Taper(%)(%)
(1)(2)(3)
Δk2+15+13
Δk42+5+5
Δk31+2+2
Δk33+19+15
Δk44+25+19

Noter. (2) Voir l'équation (22). La fréquence de mode sans rotation provient de Vorontsov et al. (1976).

Lorsque Vorontsov et al. (1984) ont exclu la rotation de Jupiter, ils faisaient quelque chose qui était mathématiquement raisonnable mais physiquement particulier. Les marées se produisent beaucoup plus fréquemment dans le référentiel tournant de Jupiter, et le flux de marée est par conséquent beaucoup plus important que si l'on avait Jupiter au repos, ce qui implique un effet dynamique beaucoup plus important. Par conséquent,k2 augmente d'un ordre de grandeur après avoir partiellement inclus la rotation de Jupiter dans la réponse forcée de marée de F-modes. Sans effet de Coriolis mais incluant la vitesse de rotation de Jupiter (Ω ≈ 176 μHz) dans le calcul de la fréquence de marée de Io (ω ≈ 270 μHz), la correction dynamique fractionnaire dans un m = 1 polytrope correspond àk2 ≈ 13%, proche du Δk2 ≈ 15 % de l'analogie de l'oscillateur harmonique forcé (Équation (22)). En général, pour une planète non rotative, la correction dynamique augmente à mesure que la fréquence de marée se rapproche de la fréquence caractéristique de Jupiter. F-modes ( μHz).

3.2. L'effet Coriolis dans une géante gazeuse en rotation

Les satellites galiléens produisent des marées dynamiques pour lesquelles l'effet Coriolis joue un rôle important. Suivant des orbites relativement lentes (ωs Ω), les satellites galiléens produisent des marées sur Jupiter avec une fréquence de marée ω

2Ω. Par conséquent, les deux termes inertiels responsables des marées dynamiques du côté gauche de l'équation du mouvement (équation (4)) ont des amplitudes similaires. De plus, Junon observe k2 être inférieur au nombre prévu pour une marée purement hydrostatique (section 2.1), et pourtant notre analyse ci-dessus produit un positifk2 lorsque les effets dynamiques sont inclus et que l'effet Coriolis est négligé (voir l'équation (22)). Il faut donc motiver le changement de signe lorsque Coriolis est inclus.

Dans ce qui suit, nous calculons d'abord l'effet gravitationnel des marées dynamiques dans une sphère de densité uniforme pour révéler le comportement fondamental des équations de marée, en évitant la plupart des difficultés techniques liées à l'utilisation d'un m = 1 polytrope. Nous avons découvert plus tard que le cas le plus compliqué d'un m = 1 polytrope introduit une différence quantitative mineure mais conduit au même comportement général.

3.2.1. Une sphère à densité uniforme

Tout d'abord, nous expliquons pourquoi Δk2 change de signe à cause de l'effet Coriolis dans un modèle particulièrement simple avec une densité uniforme. Nous calculons la correction dynamique fractionnaire à k2 en deux étapes : (1) on calcule le potentiel de l'écoulement ψ dans une sphère de densité uniforme, et (2) nous utilisons le ψ calculé de cette façon pour calculer le potentiel de gravité.

Dans une sphère de densité uniforme, la vitesse du son cs est infini, et l'équation (10) se réduit au problème bien connu de Poincaré (Greenspan et al. 1968),

où la condition aux limites à la limite extérieure doit satisfaire l'équation (18).

Suite à l'incompressibilité d'une sphère de densité uniforme, ψ2 conserve la symétrie et la structure angulaire de degré 2 de l'attraction gravitationnelle dans l'équation (19), acquérant ainsi des solutions exactes sous la forme

Le facteur numérique dans ψ2 est défini par la condition aux limites externes (Équation (17)), correspondant à (Goodman & Lackner 2009)

Dans une sphère à densité constante, les marées agissent en déplaçant la limite de la sphère à l'intérieur d'une coquille infiniment mince. Selon l'équation de la quantité de mouvement, le potentiel gravitationnel des marées est lié au potentiel ψ Suivant

Le déplacement radial de marée projeté dans les harmoniques sphériques est

et la perturbation de pression suit

Le potentiel gravitationnel d'une fine perturbation de densité sphérique découle directement de la définition du potentiel gravitationnel et de l'intégration dans tout le volume :

Le potentiel gravitationnel de marée de degré 2 correspond à

Nous utilisons à nouveau la théorie des perturbations pour séparer les contributions hydrostatiques et dynamiques au déplacement de marée (c'est-à-dire, ξ2 = ξ 0 + ξ dyn). Nous résolvons d'abord le problème bien connu de l'hydrostatique k2 (c'est à dire., ψ = 0) dans une sphère de densité uniforme (Love 1909). À la limite de la sphère (c'est-à-dire, r = Rp), le potentiel gravitationnel hydrostatique suit 0 = 3g ξ 0 /5. De l'équation (31) évaluée à r = Rp, le potentiel de l'attraction gravitationnelle devient T = 2g ξ 0 /5. Suite aux deux derniers résultats, le nombre d'Amour est k2 = 3/2, comme prévu.

La contribution dynamique au déplacement de marée ξ dyn produit le potentiel gravitationnel dyn = 3g ξ dyn /5. Après avoir appliqué la théorie des perturbations et annulé les termes hydrostatiques de l'équation (31), le potentiel ψ2 devient ψ2 = −2g ξ dyn /5. Combiné avec l'équation (30), le dernier résultat pour ψ2 nous permet d'atteindre une expression pour la correction dynamique fractionnaire dans une sphère de densité uniforme :

Deux effets contribuent à la correction dynamique fractionnaire : une contribution négative de l'effet Coriolis et une contribution positive de l'amplification dynamique de F-modes. Les deux contributions s'annulent à 2Ω = ω, où la marée atteint l'équilibre hydrostatique. Les marées deviennent hydrostatiques non seulement lorsque le spin planétaire est verrouillé en phase avec l'orbite du satellite (Ω = ωs) mais aussi dans les systèmes planète-satellite où le corps central tourne à une vitesse de plusieurs ordres de grandeur plus rapide que l'orbite du satellite (c'est-à-dire Ω ωs). Comme la fréquence du degré-2 F-mode suit approximativement , Δk2 dans l'équation (36) devient approximativement la correction fractionnelle positive déterminée dans la section 3.1 après avoir réglé Ω = 0.

À la fréquence de marée induite par Io de degré 2, la correction dynamique fractionnaire correspond à Δk2 -7,8%. Les autres satellites galiléens conduisent à un plus petitk2 parce que leur fréquence de marée se rapproche de l'équilibre hydrostatique (Figure 2). Un négatif Δk2 fonctionne dans la direction requise par la composante non hydrostatique identifiée par Junon dans le champ de gravité de Jupiter (Section 2.1).

Figure 2. Correction dynamique fractionnaire Δk2 dans une sphère rotative à densité uniforme incluant l'effet Coriolis en fonction de la fréquence de marée (voir l'équation (36)).

La direction de l'écoulement fournit une explication du signe négatif de la correction dynamique fractionnaire via l'accélération de Coriolis. Par définition, une sphère de densité uniforme n'a pas de perturbations de densité à l'intérieur et produit ainsi un potentiel gravitationnel de marée intérieur qui satisfait . Nous adoptons l'équation (30) comme potentiel de degré 2 ψ et obtenir des solutions analytiques pour les composantes cartésiennes du flux de marée de degré 2 résultant en utilisant l'équation (9),

UNE est une constante dépendant de ξ (Annexe D). Le courant de marée de degré 2 existe uniquement dans les plans équatoriaux, ne montrant aucune composante verticale du mouvement (Figure 3 (b)).

Figure 3. Degré-2 ( = m = 2) perturbations de marée sur une sphère de densité uniforme forcées par l'attraction gravitationnelle d'un satellite compagnon : (a) la non-rotation F-accélération de mode −ω 2 ξ, (b) le flux de marée comme indiqué dans l'équation (37), et (c) l'accélération de Coriolis Ω × v selon la règle de la main droite.

L'accélération de Coriolis joue un rôle majeur dans l'établissement du signe de la correction dynamique fractionnaire pour les satellites galiléens. Sans Coriolis, l'accélération de non-rotation F-modes soutient un déplacement de marée dynamique positif qui suit ξ dyn ≈ 5Rp ω 2 ξ 0 /4g. UNE ξ dyn > 0 augmente le champ gravitationnel de marée, ce qui conduit à un positifk2. Inversement, comme le montre l'équation (36), la correction dynamique fractionnaire change de signe lorsque Coriolis favorise ξ dyn < 0. Un terme de Coriolis entre dans l'équation de la quantité de mouvement, introduisant une accélération qui rivalise avec l'accélération de non-rotation F-modes, impactant finalement ξ dyn. Selon la règle de la main droite, l'accélération de Coriolis (c'est-à-dire, Ω × v La figure 3(c)) s'oppose au sens de l'accélération de la non-rotation F-modes (c'est-à-dire -ω 2 ξ Figure 3(a)). Le champ gravitationnel résultant est plus petit que le champ hydrostatique si ω < 2Ω, où l'accélération de Coriolis bat l'accélération de non-rotation F-modes.

3.2.2. le m = 1 polytrope

Dans ce qui suit, nous considérons le cas le plus pertinent d'une planète compressible qui suit un m = 1 équation d'état polytropique (Équation (14)). Contrairement à la perturbation de marée localisée d'une sphère de densité uniforme, un corps compressible produit une anomalie de densité induite par la marée qui résulte de l'advection des surfaces d'isodensité à l'intérieur du corps. Le potentiel gravitationnel de marée résultant est différent dans chaque cas en raison des différences dans la distribution de densité perturbée par les marées obtenue dans une sphère de densité uniforme et un corps compressible.

Malgré la différence susmentionnée entre les modèles, le flux de marée reste similaire de sorte que les marées dynamiques motivent une correction négative de k2 dans chaque cas. Dans un m = 1 polytrope, l'équation de continuité (5) nous dit que la composante radiale de degré 2 de l'écoulement prend la forme vrj2(couronne)/j1(couronne) lorsque le flux a une petite divergence, comme c'est le cas. Remarquablement, la contribution dominante au développement en série de Taylor de vr est linéaire en r, même jusqu'à une grande partie du rayon planétaire. Dans une sphère de densité uniforme, le potentiel ψ est ψ2r 2 , ce qui conduit à un écoulement de marée qui suit v2 ∝ ∇ψ2 donc, vr est également linéaire en r dans ce modèle. Comme indiqué, la contribution dominante à vr échelles avec rayon commer, à la fois dans un m = 1 polytrope et dans une sphère de densité uniforme. Dans un m = 1 polytrope, la contribution dominante à vr est sans boucle ni divergence et fournit le ψ2r 2 partie de la solution au potentiel ψ (Figure 4(a)). Depuis le m = 1 polytrope contient aussi des termes où ψ est d'ordre supérieur dans r, il produit un écoulement avec une boucle et une divergence non nulles, provoquant ψ2 s'écarter de ψ2r 2 . Parce que les termes d'ordre supérieur dans r sont plus petits que le terme dominant, les effets dynamiques sur k2 dans une sphère de densité uniforme sont qualitativement similaires à ceux d'une m = 1 polytrope.

Figure 4. Fonctions radiales dans un m = 1 polytrope (courbes épaisses bleues et oranges) du potentiel (a) ψ et (b) le potentiel gravitationnel dynamique dyn . Les courbes noires plus fines du panneau (a) représentent l'échelle radiale du potentiel ψ dans une sphère de densité uniforme.

Nous calculons la correction dynamique fractionnaire à k2 dans un polytrope en rotation suivant la même stratégie utilisée dans la section 3.1.2. Contrairement au polytrope sans Coriolis, la résolution de l'équation (14) est techniquement difficile en raison de la -couplage du potentiel ψ,m (par exemple, le mélange de modes) favorisé par l'effet Coriolis. Le mélange de modes se retrouve également dans les marées hydrostatiques sur une planète déformée par l'effet de la force centrifuge (Wahl et al. 2017a). Le résultat de la projection de l'équation (14) en harmoniques sphériques est un nombre infini -ensemble couplé d'équations différentielles ordinaires pour ψ,m (Annexe B.2), observé de la même manière dans le problème des marées dynamiques dissipatives (Ogilvie & Lin 2004). Le Coriolis promu -le couplage provient du sinus et du cosinus dans la vitesse de rotation de la planète ( ), ce qui modifie le degré des harmoniques sphériques liés à ψ. En conséquence, une harmonique sphérique donnée de 0 sur le membre de droite de l'équation (14) force plusieurs harmoniques sphériques du potentiel ψ avec différents .

Projetée en coordonnées sphériques, la condition aux limites (équation (17)) à r = Rp Correspond à

La condition aux limites externes est également -couplé après avoir été projeté en harmoniques sphériques (Annexe B.2).

Au centre de la planète r = r0 → 0, on trouve l'échelle suivante : ∇ 2 0

0 et . En conséquence, l'équation de marée (14) devient le problème précédemment résolu du potentiel ψ dans une sphère de densité uniforme (équation (28)) près du centre. Requis pour être fini près du centre et satisfaire l'équation (28), la partie radiale du potentiel ψ suit ψ,m

r . La condition aux limites pour ψ,m près du centre correspond à

L'équation du potentiel gravitationnel des marées dynamiques dyn reste inchangée par rapport au polytrope sans Coriolis (Annexe B.1). Les conditions aux limites extérieures et intérieures pour le potentiel gravitationnel se généralisent en degré comme

En projetant ψ,m et ,m en une série de N Polynômes de Chebyshev orientés dans la composante radiale (Annexe C), on résout numériquement les équations (B4) et (B14) en tronquant la série infinie de -équations couplées à un arbitraire . Nous choisissons une limite de troncature et le nombre de polynômes de Chebyshev sur la base de preuves numériques de convergence pour k2 et k42.

On obtient Δk2 = −4,0% à la fréquence de marée induite par Io de degré 2 (tableau 2), ce qui est d'amplitude légèrement inférieure à l'estimation dans une sphère de densité uniforme et en accord avec le k2 composante non hydrostatique observée par Juno à PJ17. La sphère à densité uniforme et les modèles polytropes produisent des corrections dynamiques fractionnaires qui tombent dans l'estimation de l'ordre de grandeur . Comme indiqué précédemment, la contribution dominante au potentiel ψ suit l'échelle radiale ψr (Figure 4(a)). Ignorant le signe, l'échelle radiale du potentiel gravitationnel dynamique dyn (Figure 4(b)) suit de près la forme du potentiel gravitationnel hydrostatique (Figure 1). En raison de la géométrie essentiellement circulaire et équatoriale des orbites galiléennes, l'harmonique sphérique = m = 2 domine le champ gravitationnel des marées de Jupiter. Par conséquent, nous nous concentrons sur la comparaison des k2 Observation Juno à notre modèle de prédiction. D'une incertitude nettement plus élevée, le rapport Juno de mi-mission des nombres d'amour à PJ17 comprend d'autres harmoniques sphériques en plus de k2 (Tableau 2). Notre modèle polytropique prédit un champ gravitationnel de marée induit par Io dans un 3σ accord avec la plupart des nombres de Love observés à PJ17, à l'exception de k42 et k31.

Tableau 2. Numéros d'amour de Jupiter

HydrostatiqueJunon PJ17 3σ3σ Différence fractionnaireΔk (Tournant m = 1 polytrope)
TaperNombreNombre(%)(%)
IoEuropeGanymèdeCallisto
(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)
k20.5900.565 ± 0.018−7/−14−2−1−1
k421.7431.289 ± 0.189−37/−15 +7+8+10+12
k310.1900.248 ± 0.046+6/+55 +1+3+4+5
k330.2390.340 ± 0.116−6/+91 +2+5+7+8
k440.1350.546 ± 0.406+4/+605 +7+11+13+15

Noter. (2) Le nombre hydrostatique est de Wahl et al. (2020). (3) Le Juno PJ17 3σ nombre est le nombre indépendant du satellite de Durante et al. (2020). (4) Les 3σ la différence fractionnaire représente le minimum/maximum 3σ correction fractionnelle non hydrostatique requise pour expliquer les observations de Juno. La correction dynamique fractionnaire dans les colonnes (5) à (8) est valable pour un m = 1 polytrope forcé par l'attraction gravitationnelle des satellites galiléens. Les valeurs en gras représentent la correction dynamique fractionnaire à la fréquence de marée de Io, le satellite avec l'attraction gravitationnelle dominante sur Jupiter.

3.2.3. Détection de marées dynamiques dans des systèmes autres que Jupiter-Io

Une détection des marées dynamiques via la mesure directe du champ gravitationnel sera difficile dans des corps autres que Jupiter (Figure 5). Le 1σ l'incertitude dans le champ gravitationnel des marées de degré 2 Io devrait être σJ

6 × 10 −2 m 2 s −2 à la fin de la mission prolongée Juno proposée (W. Folkner 2021, communication personnelle, 8 avril 2020). L'incertitude dans le champ de gravité de marée mesuré dépend du nombre et de la conception des orbites des engins spatiaux, de l'incertitude des éphémérides et des capacités instrumentales. En supposant l'incertitude σJ, nous estimons approximativement l'attraction gravitationnelle requise pour produire une composante dynamique détectable dans le champ de gravité en utilisant

Notre calcul indique que la détection des marées dynamiques à Saturne nécessitera une mission avec une détermination du champ de gravité plus précise que celle obtenue par Juno (Figure 5). Un 1σ la détection des marées dynamiques induites par Europa semble plausible à la fin de la mission prolongée de Juno, en supposant que les facteurs déterminant l'incertitude dans le champ de gravité restent similaires à ceux de Io. Nous calculons une prédiction de modèle pour le nombre d'amour de Jupiter dépendant du satellite pour tous les satellites galiléens (tableau 2). On obtient k2 = 0,578 dans le cas d'Europa, une prédiction testable par la mission prolongée Juno récemment approuvée.

Figure 5. Conditions de détection des marées dynamiques évaluées pour les satellites galiléens (noir) et les satellites de Saturne intérieur (blanc). Les satellites à droite de la ligne pointillée ont des conditions favorables pour une détection de marées dynamiques en supposant une incertitude à peu près similaire à celle de Io k2 sur Jupiter à la fin de la mission prolongée de Juno. La correction dynamique fractionnairek2 est pour un m = 1 polytrope.


4. La période et Q de l'oscillation de Chandler

[29] Les observations de la hauteur de la surface de la mer à partir de l'altimètre T/P sont dérivées après avoir appliqué des corrections environnementales aux mesures de distance altimétrique brutes pour les retards de distance causés par la troposphère humide et sèche, l'ionosphère et le biais de l'état de la mer. Des corrections géophysiques pour la surface moyenne de la mer, la réponse inverse du baromètre et les marées luni-solaires terrestres, océaniques et de charge sont appliquées aux mesures de la hauteur de la surface de la mer. L'océan diurne et semi-diurne et les marées de charge du modèle GOT99.2b [ Rayon, 1999 ] et un modèle d'équilibre des marées océaniques luni-solaires à longue période sont adoptés pour les corrections de marée océanique et de charge. Les observations de hauteur de surface de la mer ne sont en aucun cas corrigées pour la marée polaire.

[30] Les erreurs du système de contrôle d'attitude peuvent avoir dégradé la qualité des mesures T/P au cours des neuf premiers cycles de répétition de la mission, de sorte que seules les données des cycles de répétition 10 à 331, correspondant au 21 décembre 1992 au 18 septembre 2001, sont prises en compte . Un cycle de répétition fait référence au fait que la trace au sol T/P se répète exactement une fois tous les 9,9156 jours, et pourrait être considérée comme l'intervalle d'échantillonnage des hauteurs de la surface de la mer mondiale. Les données de l'altimètre solide expérimental monofréquence du satellite T/P sont également exclues de cette analyse car elles n'ont pas la même précision de mesure que les données de l'altimètre bifréquence [ Fu et al., 1994 ]. Le satellite T/P a une orbite avec un angle d'inclinaison de 66°, de sorte que les mesures de la hauteur de la surface de la mer ne sont disponibles que dans les latitudes de ±66°. De longues lacunes dans les séries chronologiques des mesures de la hauteur de la surface de la mer T/P sont introduites aux latitudes polaires car les océans de ces régions sont recouverts de glace pendant une partie importante de chaque année. De telles lacunes de données sont susceptibles de corrompre toute estimation des variations de la hauteur de la surface de la mer à la période d'oscillation de Chandler de 433 jours, de sorte que les données T/P utilisées ici sont encore limitées aux latitudes comprises dans les ±60°.

[31] Il existe diverses sources de variations saisonnières des hauteurs de la surface de la mer et celles-ci sont indiscernables de celles associées à la marée polaire. Par conséquent, les estimations par les moindres carrés des variations annuelles et semestrielles sont supprimées à la fois des observations altimétriques de la hauteur de la surface de la mer et des emplacements du pôle de rotation avant de corréler les deux types d'observations. En outre, les estimations par les moindres carrés des variations moyennes et séculaires sont également toujours supprimées des données altimétriques et du pôle de rotation, et doivent tenir compte de toute erreur dans la dérive supposée du pôle de rotation moyen. On s'attend alors à ce que les variations résiduelles du pôle de rotation et les déformations résiduelles des marées polaires de la surface de la mer se produisent presque complètement à la période d'oscillation de Chandler.

[34] Augmenter la valeur présumée de h2 de 1% augmente la valeur estimée de k2 de moins de 0,15%. Notez également que si le deuxième terme de l'équation (22) est ignoré alors l'amplitude et la phase estimées de k2 est de 0,363 et -4,6°. Ceci illustre l'importance de tenir compte de l'auto-gravitation et de la charge de la marée polaire océanique puisque cette différence de 0,055, ou 18 %, dans l'amplitude estimée de k2 s'explique principalement par le terme ignoré γ2(1 + k22une21 = 0,047. Il convient également de noter que si le pôle rapporté était supposé être identique au pôle de rotation, c'est-à-dire m(t) = p(t), au lieu d'utiliser l'équation (7) pour relier le pôle rapporté au pôle de rotation, alors la valeur estimée de k2 à la période d'oscillation de Chandler serait plus grande d'environ 0,003, soit 1 %.

[35] Une tentative est également faite pour observer toutes les caractéristiques de longueur d'onde plus courte de la marée polaire océanique. Cartes de la fonction géocentrique d'admittance de la marée polaire, telle que définie par ZUNE(θ, λ) dans l'équation (21), sont estimés simultanément avec la moyenne, la dérive et la réponse saisonnière dans les cases géographiques de 3 par 3°. Comme précédemment, les fonctions d'admittance concernent les données de pôle de rotation dont les variations saisonnières ont été supprimées. Ces estimations de l'admittance sont lissées avec une fonction de lissage gaussienne similaire à celle utilisée par Desai et Wahr [1995] . La figure 5 montre ces cartes ainsi que la fonction d'admittance géocentrique d'équilibre prédite telle que définie par UNE(θ, λ) dans l'équation (22) en utilisant les valeurs de h2 = 0,6027 et k2 = 0.308.

[36] Ces cartes confirment l'accord à grande longueur d'onde entre la réponse d'équilibre géocentrique observée et prédite. Il y a des écarts apparents à courte longueur d'onde par rapport à la réponse d'équilibre attendue. Cependant, bon nombre de ces caractéristiques de courte longueur d'onde sont corrélées à un phénomène océanographique important. En tant que tels, ils sont probablement mieux interprétés comme du bruit dans la fonction d'admittance géocentrique estimée de la marée polaire qui est introduit par le découplage inadéquat de la circulation océanique générale des océans de la déformation géocentrique de la marée polaire à partir de l'enregistrement de données limité de 9 ans. Par exemple, la fonction d'admittance réelle observée montre des caractéristiques dans les régions équatoriales de l'océan Pacifique qui sont fortement corrélées avec le fort événement El Niño qui s'est produit en 1997-1998. Des hauteurs de surface de la mer aussi grandes que 25 cm sont associées à cet événement et sont beaucoup plus grandes que l'écart type global de 9 cm de l'anomalie de hauteur de surface de la mer qui est généralement observée par T/P. Un autre exemple est dans l'admittance imaginaire observée où il y a un écart apparent de l'équilibre qui correspond au Gulf Stream sur la côte est de l'Amérique du Nord.

[37] Pour mettre ces résultats en perspective, notez que l'admittance maximale attendue d'environ 50 % correspond à un déplacement de la surface de l'océan de 8 à 18 mm sur la période d'observation de la hauteur de la mer utilisée dans cette analyse. Ces amplitudes ne dépassent pas 8 % des amplitudes des hauteurs de surface de la mer associées à l'événement El Niño de 1997-1998. De plus, les cartes de la fonction géocentrique d'admittance des marées polaires sont générées avec seulement 7,5 cycles de l'oscillation de Chandler.

[39] Les deux incertitudes citées ci-dessus résultent des erreurs formelles dans les estimations respectives de k2. La réduction apparente de ces incertitudes d'un ordre de grandeur lors de l'utilisation des données à 1 Hz au lieu de l'approche harmonique sphérique est un artefact numérique qui peut s'expliquer par le fait qu'à chaque cycle de répétition, un bac de 3 par 3 degrés contient en moyenne 150 Mesures à 1 Hz. Pendant ce temps, l'approche harmonique sphérique n'inclut effectivement qu'une seule mesure dans chaque bac de 3 par 3 degrés une fois par cycle de répétition. En tant que telles, les erreurs formelles devraient être plus petites d'un facteur de (150) 1/2 12 lors de l'utilisation des données à 1 Hz. Étant donné que les mesures altimétriques à 1 Hz ont des précisions de 40 à 50 mm, la moyenne des mesures une fois par cycle répété dans chaque bac de 3 par 3 degrés peut être considérée comme ayant des précisions de 3 à 4 mm. Les erreurs formelles qui sont déterminées à partir de l'approche harmonique sphérique sont donc susceptibles de fournir une mesure plus appropriée de l'incertitude de la valeur estimée de k2 que les erreurs formelles résultant de l'utilisation des données à 1 Hz. Alternativement, les erreurs formelles résultant de l'utilisation des données à 1 Hz devraient être amplifiées d'au moins un ordre de grandeur pour tenir compte des erreurs dans chaque mesure à 1 Hz.

[40] La figure 6 illustre l'impact que des observations supplémentaires de T/P des composantes harmoniques sphériques d'ordre 1 de degré 2 des hauteurs de surface de la mer ont sur les valeurs estimées et les erreurs formelles associées de l'amplitude et de la phase de k2. Les valeurs et les erreurs formelles illustrées à la figure 6 sont calculées en incluant de manière incrémentielle une paire supplémentaire de coefficients harmoniques sphériques d'ordre 1 de degré 2 dans l'estimation de k2 au fur et à mesure qu'ils sont devenus disponibles à partir de chaque cycle de répétition T/P au cours de la mission T/P. Aucune réduction significative des erreurs formelles n'est probable à partir de données T/P supplémentaires. Cependant, l'amplitude de l'oscillation de Chandler est variable dans le temps et seules les amplitudes entre 1992 et 2001, qui allaient de 0,12 à 0,26 seconde d'arc, sont prises en compte dans cette figure. Les observations de la hauteur de la surface de la mer auraient eu une sensibilité accrue à la marée polaire si les amplitudes d'oscillation de Chandler étaient restées à leurs valeurs maximales tout au long de la période d'observation, et les erreurs formelles auraient été plus petites mais pas plus d'un facteur de 2.

[41] La dispersion de l'amplitude et de la phase qui sont estimées comme chacun des 131 derniers cycles de répétition disponibles, ou environ 3 périodes de Chandler, sont incluses progressivement dans l'estimation de k2 est de 0,013 et 5,5°, respectivement. Ces valeurs de dispersion des estimations de k2 sont inférieures aux incertitudes respectives citées précédemment lorsque toutes les observations d'harmoniques sphériques disponibles sont utilisées, en particulier pour l'amplitude où la dispersion est inférieure d'un facteur supérieur à 2. Cela suggère que les incertitudes citées sont quelque peu prudentes. Bien qu'il soit peu probable que des données T/P supplémentaires réduisent de manière significative les erreurs formelles, ces durées d'observation plus longues devraient réduire la dispersion dans les valeurs estimées de l'amplitude et de la phase de k2.

[42] Le tableau 1 compare l'amplitude et la phase de k2 qui est déduit des observations de mouvement polaire de la période et Q de l'oscillation de Chandler avec le résultat qui est déterminé ici à partir de l'altimétrie T/P. Les valeurs déduites de k2 sont dérivés en supposant une réponse de marée polaire d'équilibre auto-cohérente avec l'amplitude de h2 = 0,6027, la phase de h2 contraint d'être identique à celui de k2, et un vrai numéro d'amour de charge k2′ = −0.3075 [ Farrell, 1972 ]. Le plus notable est le fait que les incertitudes sur la valeur de k2 qui est estimée à partir de l'altimétrie T/P est d'un ordre de grandeur plus grande que celle déduite des observations de la période et Q de l'oscillation de Chandler. L'anélasticité du manteau fait que la Terre solide retarde la réponse élastique de sorte que le retard de phase ϵ devrait être positif [ Wahr, 1985 ], et ceci est confirmé par les observations de l'oscillation de Chandler Q. La phase de k2 déterminée ici à partir de l'altimétrie T/P est négative mais heureusement l'incertitude associée dans la phase englobe la valeur positive attendue.

Auteur , deg
Jeffreys [1968] a a Valeurs du nombre d'amour k2 sont déduits des observations de la période d'oscillation de Chandler et Q en supposant une réponse de marée de pôle océanique d'équilibre auto-cohérent, avec l'amplitude de h2 = 0,6027, la phase de h2 contraint d'être identique à celui de k2, et un vrai numéro d'amour de charge k2′ = −0.3075.
0.307 ± 0.003 0.9 + 0.6/−0.6
Cari [1974] a a Valeurs du nombre d'amour k2 sont déduits des observations de la période d'oscillation de Chandler et Q en supposant une réponse d'équilibre autocohérente de la marée polaire océanique, avec l'amplitude de h2 = 0,6027, la phase de h2 contraint d'être identique à celui de k2, et un vrai numéro d'amour de charge k2′ = −0.3075.
0.307 ± 0.001 0.8 + 0.3/−0.2
Wilson et Haubrich [1976] a a Valeurs du nombre d'amour k2 sont déduits des observations de la période d'oscillation de Chandler et Q en supposant une réponse de marée de pôle océanique d'équilibre auto-cohérent, avec l'amplitude de h2 = 0,6027, la phase de h2 contraint d'être identique à celui de k2, et un vrai numéro d'amour de charge k2′ = −0.3075.
0.308 ± 0.003 0.6 + 0.6/−0.4
Oeuf [1978] a a Valeurs du nombre d'amour k2 sont déduits des observations de la période d'oscillation de Chandler et Q en supposant une réponse de marée de pôle océanique d'équilibre auto-cohérent, avec l'amplitude de h2 = 0,6027, la phase de h2 contraint d'être identique à celui de k2, et un vrai numéro d'amour de charge k2′ = −0.3075.
0.309 ± 0.003 0.6 + 0.6/−0.4
Ce papier 0.308 ± 0.035 −5.1 ± 7.1
  • a Valeurs du nombre d'Amour k2 sont déduits des observations de la période d'oscillation de Chandler et Q en supposant une réponse d'équilibre autocohérente de la marée polaire océanique, avec l'amplitude de h2 = 0,6027, la phase de h2 contraint d'être identique à celui de k2, et un vrai numéro d'amour de charge k2′ = −0.3075.

4. Discussion

KELT-24 b possède certaines caractéristiques clés qui en font une cible incontournable pour une caractérisation détaillée. Plus précisément, l'étoile hôte est très brillante, V = 8,3 mag, et la planète est assez massive, . Avec une masse aussi élevée, il est intéressant de voir quelques signes qu'elle est gonflée (RP = 1,272 ± 0,021 ). Cependant, ce n'est pas unique à ce système puisque de nombreux Jupiters chauds massifs ont des rayons gonflés. De tous les Jupiters chauds connus, KELT-24 b est l'un des quelques dizaines de massifs (MP = 4-13 ) Jupiters chauds (P < 10 jours) avec une étoile hôte suffisamment brillante (V < 13 mag) pour permettre une caractérisation détaillée. 61 à V = 8,3 mag, KELT-24 est l'hôte planétaire le plus brillant connu dans ce régime (voir Figure 8). L'étoile hôte, KELT-24, a une masse de M = , un rayon de R = 1,506 ± 0,022 , et un âge de Gyr. C'est l'étoile la plus brillante connue pour héberger une planète géante en transit avec une période comprise entre 5 et 10 jours, et l'une des planètes à période la plus longue découverte à partir de relevés au sol. Fait intéressant, HAT-P-2b (Bakos et al. 2007) est assez similaire à KELT-24 b en ce qu'ils ont presque la même période orbitale (5,63 jours contre 5,55 jours), des masses planétaires similaires (9,0 MJ contre 5,2 MJ), et les deux étoiles hôtes qui sont très brillantes (HAT-P-2 est V = 8,7 mag). L'âge relativement jeune de KELT-24 suggère qu'il vient de commencer à évoluer à partir de la séquence principale d'âge zéro, ce qui est cohérent avec notre analyse UVW (voir Section 2.7).

Figure 8. Distribution de la masse de la planète et de la période orbitale pour la population connue de la vitesse radiale uniquement (gris) et des Jupiters chauds en transit (colorés par la magnitude optique). La taille du cercle est mise à l'échelle par la luminosité apparente de l'étoile hôte. Le cercle plein représente l'emplacement de KELT-24 b. Nous ne montrons que les systèmes qui ont un 3σ ou mieux mesurer la masse de la planète. La ligne pointillée horizontale est la limite inférieure (4) du régime massif de Jupiters chauds dont nous discutons dans la section 4. Les données derrière cette figure ont été téléchargées à partir du tableau composite le 07 mai 2019 de l'UT de la NASA Exoplanet Archive (Akeson et al. 2013 ).

Nous avons détecté un petit 3 non nulσ excentricité de pour l'orbite de KELT-24 b. Cependant, les systèmes observés comme ayant de petites excentricités (<0.1) sont sujets au biais de Lucy-Sweeney, où les erreurs d'observation d'une orbite circulaire peuvent conduire à la détection d'une légère excentricité (Lucy & Sweeney 1971). Par conséquent, nous mettons le lecteur en garde contre la détection de l'excentricité, même si elle est détectée à un niveau de confiance formellement significatif. Notons que cette excentricité n'était pas seulement contrainte par les observations spectroscopiques de TRES (voir Section 2.3) mais aussi par les observations de transit KELT-FUN (c'est-à-dire la durée de transit), car elles sont toutes modélisées globalement avec EXOFASTv2 (voir Section 3 ). Parce que l'excentricité est assez petite et non concluante, nous utilisons l'équation (3) d'Adams & Laughlin (2006) pour approximer l'échelle de temps de circularisation de KELT-24 b à 12,7 Gyr (en supposant Q = 10 6 ). Cette échelle de temps de circularisation ne change pas de manière significative en tenant compte de la faible excentricité détectée. Étant donné que l'âge de KELT-24 est significativement plus petit que l'échelle de temps de circularisation, nous ne supposons pas que l'excentricité soit nulle dans notre analyse globale. Les observations futures devraient confirmer cette excentricité non nulle en obtenant des RV supplémentaires de plus grande précision et/ou en observant l'éclipse secondaire de KELT-24 b. La différence de temps entre l'éclipse secondaire en supposant une excentricité nulle et celle utilisant e = 0,078 d'après nos résultats est d'environ 3,5 heures. Les futures observations d'éclipses devraient en tenir compte lors de la planification des observations d'éclipse. KELT-24 a une vitesse de rotation projetée de 19,46 ± 0,18 km s −1 , correspondant à une période de rotation de 3,9 jours. Comme celle-ci est plus courte que la période orbitale de KELT-24 b, nous ne nous attendons pas à ce que la planète soit synchronisée avec les marées.

4.1. Évolution des marées et historique de l'irradiation

Nous avons calculé l'évolution orbitale passée et future de l'orbite de KELT-24 b sous l'influence des marées, en utilisant le code POET (Penev et al. 2014). Nous avons calculé l'évolution du demi-grand axe orbital (voir la figure 9) en supposant un décalage de phase de marée constant (ou facteur de qualité de marée constant), une orbite circulaire et aucune perturbation due à d'autres objets non détectés dans le système. Dans ces hypothèses, les marées que l'étoile soulève sur la planète n'ont aucun effet appréciable sur l'orbite, car le moment cinétique qui peut être stocké/extrait de la planète est une fraction négligeable du moment angulaire orbital total. En conséquence, l'évolution des marées est dominée par la dissipation des perturbations des marées dans l'étoile. Nous avons pris en compte l'évolution du rayon stellaire, en supposant une trajectoire évolutive stellaire MIST (Choi et al. 2016 Dotter 2016) appropriée pour la masse stellaire et la métallicité les mieux ajustées de notre ajustement global (voir Section 3). Enfin, nous avons combiné l'évolution du demi-grand axe orbital avec l'évolution de la luminosité stellaire par le même modèle MIST pour calculer l'évolution de la quantité d'irradiation reçue par la planète (voir Figure 9). Étant donné que la dissipation des marées dans les étoiles est mal limitée et probablement pas bien décrite par un simple modèle de décalage de phase constant, nous avons considéré une large gamme de décalages de phase plausibles, paramétrés par le paramètre de dissipation de marée couramment utilisé (le rapport du facteur de qualité de marée Q et le nombre d'Amour, k2).

Graphique 9. Evolution du demi-grand axe (en haut) et de l'irradiation (en bas) pour KELT-24 b montrée pour une plage de valeurs pour Q . La couleur du trait indique la dissipation dans l'étoile (vert : Q = 10 5 , lavande : Q = 10 7 , or : Q = 10 8 ).

Indépendamment du facteur de qualité des marées, nous avons conclu que la planète a toujours été soumise à un niveau d'irradiation plusieurs fois supérieur au 2 × 10 8 erg s -1 cm -2 seuil Demory & Seager (2011) suggèrent est nécessaire pour que la planète soit considérablement gonflée. De plus, encore une fois, quelle que soit la quantité de dissipation, la planète a subi au plus une évolution orbitale modérée avant son orbite actuelle, presque circulaire. En revanche, le sort futur de la planète est considérablement affecté par la quantité de dissipation de marée supposée. Pour un facteur de qualité de marée de , la planète sera engloutie par son étoile mère en quelques centaines de Myr, tandis que pour ou plus la planète survit jusqu'à la fin de la vie de la séquence principale de son étoile mère.

4.2. Orbite alignée de KELT-24

L'orbite alignée de KELT-24 b est intéressante dans le contexte de sa masse, de sa faible excentricité possible et du jeune âge du système. Hébrard et al. (2010) ont noté que pour les Jupiters chauds massifs, leurs orbites sont généralement progrades mais avec un angle de désalignement différent de zéro, un modèle qui est toujours vrai aujourd'hui (voir Figure 10). KELT-24 b est donc quelque peu inhabituel en ce que son désalignement spin-orbite projeté dans le ciel λ est cohérent avec zéro, bien que le vrai désalignement spin-orbite 3D ψ pourrait être plus grande si l'étoile hôte n'est pas vue sur l'équateur. Nous ne pouvons pas mesurer l'inclinaison de l'axe de rotation stellaire je en utilisant nos données actuelles, mais un ESSAI la mesure de la période de rotation par modulation ponctuelle ou astérosismologie pourrait permettre cette mesure.

Figure 10. Désalignement spin-orbite de KELT-24b dans le contexte de la population de Jupiters chauds de la littérature. Nous montrons les désalignements spin-orbite projetés dans le ciel en fonction de la masse planétaire. Les points de tracé rouge et bleu désignent des planètes en orbite autour d'étoiles avec des températures effectives inférieures ou supérieures à la pause Kraft à 6250 K, respectivement les Jupiters chauds en orbite autour d'étoiles plus froides ont généralement des orbites bien alignées, tandis que celles en orbite autour d'étoiles plus chaudes comme KELT-24 des désalignements (Winn 2010). Nous mettons en évidence KELT-24b comme la grande étoile rouge foncé, les incertitudes sont plus petites que la taille du symbole du tracé. Nous ne montrons que des planètes avec des masses mesurées plutôt que des limites supérieures, et des incertitudes sur les désalignements spin-orbite de moins de 20°.

De plus, le jeune âge de KELT-24 et son orbite alignée légèrement excentrique imposent certaines contraintes sur l'histoire passée du système. Certains des mécanismes de migration à haute excentricité, tels que le mécanisme de Kozai-Lidov (Anderson et al. 2016) ou les interactions séculaires planète-planète (Petrovich & Tremaine 2016) peuvent prendre des centaines de Myr et laisser généralement les planètes sur des orbites très excentriques et désalignées. . Avec la longue échelle de temps d'amortissement des marées pour le système (plus longue que l'âge de l'univers), cela suggère que KELT-24 b a probablement plutôt migré à travers un mécanisme plus rapide et moins violent sur le plan dynamique, comme les interactions avec le disque protoplanétaire ou la formation in situ.

4.3. Perspectives de caractérisation atmosphérique

Comme mentionné, KELT-24 b est l'une des rares planètes géantes connues en orbite autour d'une étoile hôte suffisamment brillante pour permettre des observations détaillées de caractérisation atmosphérique. Les autres planètes comparables dans cette gamme de masse qui ont été observées avec soit Spitzer ou alors TVH sont HAT-P-2 b (Spitzer, Lewis et al. 2014), WASP-14b (Spitzer, Wong et al. 2015), Kepler-13A b (Spitzer et TVH, Beatty et al. 2017), KELT-1b (Spitzer, Beatty et al. 2019) et WASP-103b (Spitzer et TVH, Kreidberg et al. 2018). Fait intéressant, KELT-24 b orbite autour de l'hôte le plus brillant de ce régime et a la température d'équilibre du corps noir la plus basse de toutes ces planètes : environ 1450 K. Cela place KELT-24 b dans un régime atmosphérique différent et potentiellement intéressant. Compte tenu des similitudes entre HAT-P-2b et KELT-24, la future observation atmosphérique KELT-24b fournirait une belle comparaison avec celles déjà prises pour HAT-P-2b.

Les observations de naines brunes massives ont montré qu'il y a un fort décalage vers le bleu dans les couleurs NIR de ces objets lorsqu'elles se refroidissent d'environ 1400 K à environ 1000 K. Ceci est connu sous le nom de transition "L-T", et est généralement censé représenter les nuages ​​dans les atmosphères des naines L plus chaudes descendant lentement en dessous du niveau de la photosphère dans les naines T plus froides. Les quelques observations que nous avons d'exoplanètes géantes dans ce régime indiquent que cette transition peut se produire à des températures plus froides, probablement parce que la gravité à la surface inférieure des planètes modifie la dynamique des nuages ​​dans leurs atmosphères, permettant peut-être au lofting vertical de maintenir les nuages ​​plus hauts plus longtemps. (Triaud et al. 2015).

KELT-24 b possède une gravité de surface intermédiaire, 3 fois supérieure à celle de Jupiter mais 10 fois inférieure à celle d'une naine brune, qui chevauche les observations précédentes. La caractérisation des propriétés globales du nuage sur KELT-24 b pourrait donc nous permettre de mieux comprendre les processus dynamiques derrière la transition L-T. En particulier, une analyse récente de Spitzer les résultats de courbe de phase de Beatty et al. (2019) a montré que tous les Jupiters chauds semblent posséder un pont nuageux nocturne à une température d'environ 1000 K.La température d'équilibre relativement basse de l'atmosphère de KELT-24 b indique que même les nuages ​​diurnes sur KELT-24 b seraient proches en composition des nuages ​​nocturnes universels sur d'autres Jupiters chauds. La mesure spectroscopique de l'émission de KELT-24 b pourrait donc permettre de déterminer la composition spécifique de ces nuages. Les compositions des nuages ​​fourniraient à leur tour un aperçu inestimable des processus de condensation des nuages, et donc de leur dynamique.


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Le scientifique italien Giovanni Battista Riccioli et son assistant Francesco Maria Grimaldi ont décrit l'effet en relation avec l'artillerie dans le 1651 Almagestum Novum, écrivant que la rotation de la Terre devrait faire dévier un boulet de canon tiré vers le nord vers l'est. [12] En 1674 Claude François Milliet Dechales décrit dans son Cursus seu Mundus Mathematicus comment la rotation de la Terre devrait provoquer une déviation des trajectoires des corps en chute et des projectiles dirigés vers l'un des pôles de la planète. Riccioli, Grimaldi et Dechales ont tous décrit l'effet dans le cadre d'un argument contre le système héliocentrique de Copernic. En d'autres termes, ils ont fait valoir que la rotation de la Terre devrait créer l'effet, et donc le fait de ne pas détecter l'effet était la preuve d'une Terre immobile. [13] L'équation d'accélération de Coriolis a été dérivée par Euler en 1749, [14] [15] et l'effet a été décrit dans les équations de marée de Pierre-Simon Laplace en 1778. [16]

Gaspard-Gustave Coriolis a publié en 1835 un article sur le rendement énergétique des machines à pièces tournantes, telles que les roues hydrauliques. [17] Cet article a examiné les forces supplémentaires qui sont détectées dans un cadre de référence en rotation. Coriolis a divisé ces forces supplémentaires en deux catégories. La deuxième catégorie contenait une force résultant du produit croisé de la vitesse angulaire d'un système de coordonnées et de la projection de la vitesse d'une particule dans un plan perpendiculaire à l'axe de rotation du système. Coriolis a appelé cette force la « force centrifuge composée » en raison de ses analogies avec la force centrifuge déjà considérée dans la première catégorie. [18] [19] L'effet était connu au début du 20ème siècle comme "l'accélération de Coriolis", [20] et en 1920 comme "la force de Coriolis". [21]

En 1856, William Ferrel a proposé l'existence d'une cellule de circulation dans les latitudes moyennes avec l'air dévié par la force de Coriolis pour créer les vents d'ouest dominants. [22]

La compréhension de la cinématique de la façon dont exactement la rotation de la Terre affecte le flux d'air était partielle au début. [23] À la fin du XIXe siècle, on a compris toute l'étendue de l'interaction à grande échelle de la force de gradient de pression et de la force de déviation qui, à la fin, provoque le déplacement des masses d'air le long des isobares. [24]

En mécanique newtonienne, l'équation du mouvement d'un objet dans un référentiel inertiel est

En transformant cette équation en un référentiel tournant autour d'un axe fixe passant par l'origine avec une vitesse angulaire ω >> ayant une vitesse de rotation variable, l'équation prend la forme

Les forces fictives telles qu'elles sont perçues dans le cadre tournant agissent comme des forces supplémentaires qui contribuent à l'accélération apparente tout comme les forces externes réelles. [25] [26] Les termes de force fictifs de l'équation sont, de gauche à droite : [27]

Comme la force de Coriolis est proportionnelle à un produit vectoriel de deux vecteurs, elle est perpendiculaire aux deux vecteurs, dans ce cas la vitesse de l'objet et le vecteur de rotation du cadre. Il s'ensuit donc que :

  • si la vitesse est parallèle à l'axe de rotation, la force de Coriolis est nulle. (Par exemple, sur Terre, cette situation se produit pour un corps sur l'équateur se déplaçant vers le nord ou le sud par rapport à la surface de la Terre.)
  • si la vitesse est rectiligne vers l'intérieur de l'axe, la force de Coriolis est dans le sens de la rotation locale. (Par exemple, sur Terre, cette situation se produit pour un corps sur l'équateur tombant vers le bas, comme dans l'illustration de Dechales ci-dessus, où la balle qui tombe se déplace plus à l'est que la tour.)
  • si la vitesse est droite vers l'extérieur de l'axe, la force de Coriolis est contre le sens de rotation locale. (Dans l'exemple de la tour, une balle lancée vers le haut se déplacerait vers l'ouest.)
  • si la vitesse est dans le sens de rotation, la force de Coriolis est vers l'extérieur de l'axe. (Par exemple, sur Terre, cette situation se produit pour un corps sur l'équateur se déplaçant vers l'est par rapport à la surface de la Terre. Il se déplacerait vers le haut comme le voit un observateur à la surface. Cet effet (voir effet Eötvös ci-dessous) a été discuté par Galileo Galilei dans 1632 et par Riccioli en 1651. [29] )
  • si la vitesse est contre le sens de rotation, la force de Coriolis est vers l'intérieur de l'axe. (Sur Terre, cette situation se produit pour un corps sur l'équateur se déplaçant vers l'ouest, qui dévierait vers le bas tel que vu par un observateur.)

Les échelles de temps, d'espace et de vitesse sont importantes pour déterminer l'importance de la force de Coriolis. L'importance de la rotation dans un système peut être déterminée par son nombre de Rossby, qui est le rapport de la vitesse, U, d'un système au produit du paramètre de Coriolis, f = 2 sin ⁡ φ , et de l'échelle de longueur, L, de la motion :

Le nombre de Rossby est le rapport des forces d'inertie aux forces de Coriolis. Un petit nombre de Rossby indique qu'un système est fortement affecté par les forces de Coriolis, et un grand nombre de Rossby indique un système dans lequel les forces d'inertie dominent. Par exemple, dans les tornades, le nombre de Rossby est grand, dans les systèmes à basse pression, il est faible et dans les systèmes océaniques, il est d'environ 1. En conséquence, dans les tornades, la force de Coriolis est négligeable et l'équilibre est entre la pression et les forces centrifuges. . Dans les systèmes à basse pression, la force centrifuge est négligeable et l'équilibre se situe entre les forces de Coriolis et de pression. Dans les océans, les trois forces sont comparables. [30]

Un système atmosphérique se déplaçant à U = 10 m/s (22 mph) occupant une distance spatiale de L = 1 000 km (621 mi), a un nombre de Rossby d'environ 0,1.

Un lanceur de baseball peut lancer la balle à U = 45 m/s (100 mph) sur une distance de L = 18,3 m (60 pi). Le nombre de Rossby dans ce cas serait de 32 000.

Les joueurs de baseball ne se soucient pas de l'hémisphère dans lequel ils jouent. Cependant, un missile non guidé obéit exactement à la même physique qu'une balle de baseball, mais peut voyager assez loin et rester dans les airs assez longtemps pour ressentir l'effet de la force de Coriolis. Les obus à longue portée dans l'hémisphère nord ont atterri près, mais à droite, de l'endroit où ils étaient visés jusqu'à ce que cela soit noté. (Ceux qui ont été tirés dans l'hémisphère sud ont atterri sur la gauche.) En fait, c'est cet effet qui a d'abord attiré l'attention de Coriolis lui-même. [31] [32] [33]

Balle lancée sur un carrousel rotatif Modifier

La figure illustre une balle lancée de 12h00 vers le centre d'un carrousel tournant dans le sens inverse des aiguilles d'une montre. À gauche, la balle est vue par un observateur immobile au-dessus du carrousel, et la balle se déplace en ligne droite vers le centre, tandis que le lanceur de balles tourne dans le sens inverse des aiguilles d'une montre avec le carrousel. A droite, la balle est vue par un observateur tournant avec le carrousel, de sorte que le lanceur de balles semble rester à 12h00. La figure montre comment la trajectoire de la balle vue par l'observateur en rotation peut être construite.

A gauche, deux flèches localisent la balle par rapport au lanceur de balles. L'une de ces flèches va du lanceur au centre du carrousel (fournissant la ligne de mire du lanceur de balles), et l'autre pointe du centre du carrousel à la balle. (Cette flèche devient plus courte à mesure que la balle s'approche du centre.) Une version décalée des deux flèches est représentée en pointillé.

Sur la droite est montrée cette même paire de flèches en pointillés, mais maintenant la paire est tournée de manière rigide de sorte que la flèche correspondant à la ligne de mire du lanceur de balles vers le centre du carrousel est alignée avec 12h00. L'autre flèche de la paire localise la balle par rapport au centre du carrousel, fournissant la position de la balle telle que vue par l'observateur en rotation. En suivant cette procédure pour plusieurs positions, la trajectoire dans le référentiel tournant est établie comme le montre la trajectoire courbe dans le panneau de droite.

La balle se déplace dans l'air, et il n'y a aucune force nette sur elle. Pour l'observateur stationnaire, la balle suit une trajectoire rectiligne, il n'y a donc aucun problème à mettre cette trajectoire au carré avec une force nette nulle. Cependant, l'observateur en rotation voit un incurvé chemin. La cinématique insiste sur le fait qu'une force (poussant vers le droite du sens de déplacement instantané pour un dans le sens inverse des aiguilles d'une montre rotation) doit être présent pour provoquer cette courbure, de sorte que l'observateur en rotation est obligé d'invoquer une combinaison de forces centrifuges et de Coriolis pour fournir la force nette requise pour provoquer la trajectoire courbe.

Balle rebondie Modifier

La figure décrit une situation plus complexe où la balle lancée sur un plateau tournant rebondit sur le bord du carrousel puis revient au lanceur, qui attrape la balle. L'effet de la force de Coriolis sur sa trajectoire est à nouveau montré tel que vu par deux observateurs : un observateur (appelé "caméra") qui tourne avec le carrousel, et un observateur inertiel. La figure montre une vue à vol d'oiseau basée sur la même vitesse de balle sur les trajets aller et retour. Dans chaque cercle, les points tracés montrent les mêmes points dans le temps. Dans le panneau de gauche, du point de vue de la caméra au centre de rotation, le tosser (visage souriant) et le rail sont tous deux à des emplacements fixes, et la balle fait un arc très considérable lors de son déplacement vers le rail, et prend une direction plus directe route au retour. Du point de vue du lanceur de balle, la balle semble revenir plus rapidement qu'elle n'est allée (parce que le lanceur tourne vers la balle lors du vol de retour).

Sur le carrousel, au lieu de lancer la balle directement sur un rail pour rebondir, le lanceur doit lancer la balle vers la droite de la cible et la balle semble alors à la caméra porter en continu à gauche de son sens de déplacement pour frapper le rail (la gauche car le carrousel tourne dans le sens des aiguilles d'une montre). La balle semble porter vers la gauche par rapport à la direction de déplacement sur les trajectoires d'aller et de retour. La trajectoire courbe demande à cet observateur de reconnaître une force nette vers la gauche sur la balle. (Cette force est « fictive » car elle disparaît pour un observateur stationnaire, comme nous le verrons brièvement.) Pour certains angles de lancement, une trajectoire a des portions où la trajectoire est approximativement radiale, et la force de Coriolis est principalement responsable de la déviation apparente de la bille (la force centrifuge est radiale à partir du centre de rotation, et provoque peu de déviation sur ces segments). Cependant, lorsqu'une trajectoire s'éloigne de la radiale, la force centrifuge contribue de manière significative à la déviation.

La trajectoire de la balle dans les airs est droite lorsqu'elle est vue par des observateurs debout au sol (panneau de droite). Dans le panneau de droite (observateur fixe), le lanceur de balle (visage souriant) est à 12 heures et le rail d'où rebondit la balle est à la position 1. Du point de vue du spectateur inertiel, les positions 1, 2 et 3 sont occupées dans séquence. En position 2, la balle frappe le rail, et en position 3, la balle revient au lanceur. Les trajectoires en ligne droite sont suivies car la balle est en vol libre, donc cet observateur exige qu'aucune force nette ne soit appliquée.

La force affectant le mouvement de l'air « glissant » sur la surface de la Terre est la composante horizontale du terme de Coriolis

Cette composante est orthogonale à la vitesse à la surface de la Terre et est donnée par l'expression

Dans l'hémisphère nord où le signe est positif, cette force/accélération, vue de dessus, est à droite de la direction du mouvement, dans l'hémisphère sud où le signe est négatif cette force/accélération est à gauche de la direction de mouvement

Sphère en rotation Modifier

Considérez un emplacement avec une latitude φ sur une sphère qui tourne autour de l'axe nord-sud. [34] Un système de coordonnées locales est mis en place avec le X axe horizontal plein est, le oui l'axe horizontal plein nord et le z axe verticalement vers le haut. Le vecteur de rotation, la vitesse de déplacement et l'accélération de Coriolis exprimés dans ce système de coordonnées local (liste des composants dans l'ordre est (e), Nord (m) et vers le haut (vous)) sont:

Lorsque l'on considère la dynamique atmosphérique ou océanique, la vitesse verticale est faible et la composante verticale de l'accélération de Coriolis est faible par rapport à l'accélération due à la gravité. Dans de tels cas, seules les composantes horizontales (est et nord) comptent. La restriction de ce qui précède au plan horizontal est (réglage vvous = 0):

En définissant vm = 0, on voit immédiatement que (pour φ et ω positifs) un mouvement plein est se traduit par une accélération plein sud. De même, le réglage ve = 0, on voit qu'un mouvement plein nord se traduit par une accélération plein est. En général, observée horizontalement, en regardant dans la direction du mouvement provoquant l'accélération, l'accélération est toujours tournée de 90° vers la droite et de même dimension quelle que soit l'orientation horizontale.

Dans un cas différent, considérons le réglage du mouvement équatorial φ = 0°. Dans ce cas, Ω est parallèle au nord ou m-axe, et :

En conséquence, un mouvement vers l'est (c'est-à-dire dans le même sens que la rotation de la sphère) fournit une accélération vers le haut connue sous le nom d'effet Eötvös, et un mouvement vers le haut produit une accélération vers l'ouest.


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Remerciements

Les données d'enregistrement de la pression au fond utilisées dans cette étude sont disponibles comme informations à l'appui pour Rayon [ 2013 ] sur http://onlinelibrary.wiley.com/doi/10.1002/jgrc.20336/suppinfo. SDD a effectué les travaux décrits dans cet article au Jet Propulsion Laboratory, California Institute of Technology, sous contrat avec la National Aeronautics and Space Administration. Le RDR a été soutenu par le projet Ocean Surface Topography de la National Aeronautics and Space Administration.

L'éditeur remercie deux relecteurs anonymes pour leur aide dans l'évaluation de cet article.


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