Astronomie

Quelles variables sont nécessaires pour calculer des temps d'orbite simples en fer à cheval ?

Quelles variables sont nécessaires pour calculer des temps d'orbite simples en fer à cheval ?

ÉDITER Ce n'était PAS un doublon des temps de cycle d'orbite en fer à cheval.

Mais cette autre question a été supprimée, peu importe. Ma question initiale demandait la réponse à l'équation (s) et fournit de nombreuses variables. Mais comme personne n'était apparemment disposé/capable d'y répondre, cette nouvelle question ne demande que la forme de la ou des équations elles-mêmes et une liste des variables impliquées, afin que je puisse soit fournir plus d'informations sur une question future, soit essayer et résoudre les équations moi-même (bien que je doute de ma capacité en mathématiques à le faire, d'où la question initiale, si je sais quelles équations et variables sont impliquées, je peux au moins faire une tentative moi-même).

Quelles variables doivent être connues pour calculer un temps de cycle d'orbite en fer à cheval ?

En d'autres termes : quelle est l'équation, et que représentent les variables de cette équation (vitesse ? masse ? demi grands axes ? etc.), pour calculer le temps qu'il faut à un objet pour aller du point A sur cette image, à travers Points B, C, D et E et retour à A, le long de la ligne bleu clair dans l'image ci-dessus (image également disponible ici) ?

Par exemple, la Terre et Cruithne achèvent leur cycle en 770 ans, tandis que Janus et Epiméthée achèvent le leur en 8 ans. Je suis convaincu que les demi-grands axes sont des facteurs clés dans l'équation, mais je ne sais pas quelles autres variables sont incluses, ni comment les variables sont liées les unes aux autres dans le calcul.

De plus, je comprends que ces orbites ne sont pas stables, à long terme, et que mon exemple de Cruithne est particulièrement complexe, car il changera en fait de types d'orbite périodiquement, et sera probablement entièrement éjecté du système solaire, ou impactera le Soleil. ou Jupiter, à un moment donné. Mais ces complexités sont pour une autre fois. Pour cette question, je veux juste connaître l'équation dans sa forme la plus simple.


Cela dépend de la précision avec laquelle vous voulez travailler. À l'ordre zéro, comme indiqué dans Murray & Dermott, "Solar System dynamics", chapitre 3., vous pouvez effectuer les opérations suivantes :

  • Les contours à vitesse nulle tracés dans votre image ne coïncideront pas avec les orbites des particules avec une précision infinie, mais ils constituent une bonne approximation d'ordre zéro pour les objets à faible excentricité par rapport à l'étoile ($v_{r}/v_{ heta} ll 1$)
  • Une particule sur ces orbites est sur une orbite Keplerienne régulière de rayon $r_{ m H}$, hors de portée de l'influence gravitationnelle de la planète à $r_{ m P}$. Ainsi, pour obtenir le plus grand "morceau" de temps de trajet d'une partie de l'orbite en fer à cheval, soit la partie intérieure ou extérieure, vous pouvez travailler avec des vitesses relatives et l'hypothèse de vitesses képlériennes.
  • Il faut être prudent quant à l'heure orbitale qui vous intéresse : si $a$ est la distance de la Terre au soleil, et le fer à cheval est $d$ loin d'une orbite parfaitement circulaire, alternant ainsi entre les distances $apm d$, alors le temps orbital dans le cadre de repos du soleil sera $v_{-}=sqrt{frac{GM}{a-d}}$, pour un grand nombre d'orbites jusqu'à une rencontre rapprochée, et après cela $v_{+}=sqrt{frac{GM}{a+d}}$.
  • Par conséquent, le cas simplifié selon lequel le satellite est sur sa propre orbite képlérienne est vrai la plupart du temps. Armés de cette connaissance, nous pouvons approximer le temps de récurrence planétocentrique comme $t_{ m rec}=frac{2pi a}{v_{K} - v_{-}}$ comme un simple temps de rattrapage entre des objets sur des orbites différentes.
  • La vitesse relative $v_{ m rel} = v_{K} - v_{-} = sqrt{frac{GM}{a}}-sqrt{frac{GM}{a-d}}$ peut être étendu dans la limite de $d/all1$ dans $v_{ m rel} approx frac{1}{2} sqrtfrac{GM}{a} frac{d}{a}$ et donc je tire de cela $t_{rec}approx frac{4pi}{sqrt{GM}} frac{a^{5/2}}{d}$. Comme prévu, le temps de cycle diverge pour $d=0$, comme dans le cas de la co-orbite avec la Terre, ce temps doit être infini. Une limite supérieure sur $d$ ne peut pas être dérivé de cela, il faudrait se tourner vers la solution complète pour cela.

Par curiosité, j'ai inséré quelques valeurs dans cette formule et écrit quelque chose de rapide en python :

import numpy as np #Quantités physiques de base G = 6.678e-8 #cgs units pi = 3.141592 navo = 6e23 # particules par mole sigma = 5.67e-5 #erg cm-2 s-1 K-4 kb = 1.38e-16 #erg/K km = 1e5 #kilomètres en cm mearth = 5.98e27 #g msun = 2.0e33 #g au = 1.49e13 #cm yr = 365*24*3600 rearth = 6370e5 rjupiter = 74000*km # # Renvoie le fer à cheval approximatif -temps de cycle dans le problème à 3 corps réduit # Masses des corps : m0>>m1>>m2 # La distance du demi-grand axe est de m0 à m1, la distance radiale est a(m0->m1)-a(m0->m2) # def hs_cycle(mcentral, semimajor_axis, radial_distance): return 4*pi/np.sqrt(G*mcentral)*semimajor_axis**(5/2.)/radial_distance/yr # # https://en.wikipedia.org/wiki /(419624)_2010_SO16 autour du Soleil # # Temps de cycle estimé ~350 ans, avec d=0.004 AU # print("Predicted 2010_SO16 cycletime [years] = ", hs_cycle(msun, 1*au,0.004*au), " prédit = 350 ans") # # Janus/Epimetheus autour de Saturne # # a = 151410 km, d = 25 km, comme indiqué dans https://en.wikipedia.org/wiki/Epimetheus_(moon) # Temps de cycle cité e = 8 ans (à partir des commentaires) # print("Predicted Janus/Epimetheus cycletime [years] = ", hs_cycle(95*mearth, 151410*km,50*km), " predicted = 4 yrs") # # 3753 Cruithne # # a = 1 UA et différence entre le demi-grand axe de https://en.wikipedia.org/wiki/3753_Cruithne # Temps de cycle cité = 770 ans # print("Predicted 3753 Cruithne cycletime [years] = ",hs_cycle(msun, 1* au, (1,0-0,99774)*au), " prédit = 770 ans")

et les résultats que j'obtiens sont

Durée de cycle prévue 2010_SO16 [années] = 495.7747141830971 prévue = 350 ans Durée de cycle prévue de Janus/Epimetheus [années] = 11.542076781209305 prévue = 8 ans Prévue 3753 Durée de cycle de Cruithne [années] = 877.4773702355546 prévue = 770 ans

Ainsi, la formule peut être erronée jusqu'à un facteur de ~2. C'est bien sûr tout simplement parce que la réalité est plus complexe qu'une simple approximation d'orbite circulaire, mais aussi en raison de la qualité des valeurs utilisées. Wikipédia n'est pas bien connu pour bien rechercher des valeurs particulières. J'ai pris ceux que j'ai trouvés là-bas. Pour SO16, c'était particulièrement déroutant à sélectionner, j'ai donc pris les deux qui étaient mentionnés dans la même ligne de texte, en espérant qu'ils proviendraient de la même source.

Toute personne trouvant des valeurs plus cohérentes est libre de commenter.


Ernest W. Brown sur une nouvelle famille d'orbites périodiques dans le problème des trois corps : (Planches 6, 7.) dans MNRAS, 71, (5), pp 438-454 publié le 10 mars 1911 semble être l'endroit où les orbites en fer à cheval ont été proposées pour la première fois. (Disponible ici aussi). Cela commence:

Il existe quatre astéroïdes connus qui semblent osciller autour de l'un ou l'autre des sommets des deux triangles équilatéraux qui ont pour base la ligne joignant Jupiter et le Soleil. Ces sommets sont les positions bien connues d'équilibre relatif. Le vecteur héliocentrique de l'un de ces astéroïdes peut apparemment s'éloigner jusqu'à 17° de sa position d'équilibre.* Les oscillations ne peuvent donc pas être considérées comme très faibles. On se demande naturellement si des oscillations de ce genre dans des arcs encore plus étendus sont possibles ; et si oui, de quelle manière les orbites peuvent-elles être obtenues le plus commodément.

*L. J. Linders, Arhivfor Mat., Ast. och Fys., Donc. Vétérinaire. Ak. i Stockholm, Bd. 4, n° 20.



Je vais faire quelques orbites en fer à cheval dans le formalisme du problème circulaire restreint à trois corps et les tracer en Python, puis les comparer à l'estimation de la période synodique décrite dans la réponse de @AtmosphericPrisonEscape.

tl;dr : Il y a un bon accord qualitatif, pas de mauvaises surprises !


Un bref résumé des mathématiques CR3BP en unités sans dimension. La distance entre les deux corps est égale à 1, tout comme la constante gravitationnelle. Ils orbitent autour d'un centre de masse commun sur des orbites circulaires, avec une période de $2 pi$. Il est plus facile de visualiser et de calculer si vous le faites dans un cadre tournant, donc les deux masses sont fixes. Le troisième corps en position $x, y, z$ est considéré comme n'ayant aucun effet gravitationnel sur les deux premiers,

$$mu = frac{m_2}{m_1 + m_2}$$

$$x_1 = -mu $$ $$x_2 = 1-mu $$

$$r_1 = sqrt{(x-x1)^2 + y^2 + z^2}$$ $$r_2 = sqrt{(x-x2)^2 + y^2 + z^2}$$

L'énergie Jacobi $C$ est une quantité conservée dans ce référentiel tournant :

$$C = x^2 + y^2 + 2frac{1-mu}{r_1} + 2frac{mu}{r_2} - (dot{x}^2 + dot{y} ^2 + dot{z}^2)$$

où le $x^2 ​​+ y^2$ est le pseudopotentiel. Si vous définissez les termes dépendant de la vitesse $(dot{x}^2 + dot{y}^2 + dot{z}^2)$ à zéro, vous obtenez un surface de vitesse nulle, cette surface collée dans de nombreuses/la plupart des questions sur trois orbites corporelles. Ces tracés ne s'appliquent pas lorsqu'un objet est en mouvement, et vous ne pouvez donc pas superposer d'orbites dessus !

L'accélération ressentie par le troisième corps dans ce cadre tournant a à la fois les effets attendus $1/r^2$ forces et un dépendant de la vitesse pseudo-force ce qui n'est pas réel, mais explique le fait que le cadre est en rotation et non inertiel.

$$ddot{x} = x + 2dot{y} - frac{(1-mu)(x+mu)}{r_1^3} - frac{mu(x-1+mu )}{r_2^3}$$ $$ddot{y} = y - 2dot{x} - frac{(1-mu)y}{r_1^3} - frac{mu y}{r_2^3}$$ $$ddot{z} = -frac{(1-mu) z}{r_1^3} - frac{mu z}{r_2^3} $$


Voici quelques calculs. j'ai choisi $mu = 0,001$ ce qui est assez proche de la situation Jupiter et le Soleil. J'ai choisi un tableau de points de départ à l'opposé de $m_2$ à environ $x=-1$ mais ce n'est pas vraiment ce que j'ai fait. Ce que j'ai vraiment fait, c'est choisir un tas de vitesses de départ $-0,08 < dot{y} < 0,08$ et pour chacun j'ai calculé la position sur le $x$ axe près $x=-1$ où l'accélération de la $x$ la direction était nulle.

Cela donne aux solutions un tout petit peu de symétrie de départ, mais les orbites de halo sont cahoteuses et ondulantes et pas toujours aussi stables, donc cet effort n'est pas vraiment nécessaire.

J'ai propagé chaque orbite jusqu'à ce qu'elle revienne dans la même zone et je l'ai arrêtée lorsqu'elle a croisé l'axe des x, produisant une famille de demi-cycles.

Pour faire court, la méthode présentée dans la réponse de @AtmosphericPrisonEscape pour estimer le temps de cycle en calculant la période synodique dans le référentiel inertiel est en assez bon accord avec ces orbites de halo, et cela ne devrait pas être très surprenant !

dessus: demi-cycles de certaines orbites en fer à cheval bancales

dessus: fois aux premiers croisements de l'axe x des mêmes orbites en fer à cheval bancales, utilisées pour calculer les temps de demi-cycle.

dessus: les temps de cycle de ce calcul (points noirs) par rapport à la méthode d'estimation de la période synodique (points rouges). Bon accord qualitatif. Aussi les vitesses y de départ à chaque point de départ dans x.

au dessous de: Script Python pour ces tracés.

def x_acc(x, ydot): r1 = np.abs(x-x1) r2 = np.abs(x-x2) xddot = x + 2*ydot - ((1-mu)/r1**3)*( x+mu) - (mu/r2**3)*(x-(1-mu)) return xddot def C_calc(x, y, z, xdot, ydot, zdot): r1 = np.sqrt((x- x1)**2 + y**2 + z**2) r2 = np.sqrt((x-x2)**2 + y**2 + z**2) C = (x**2 + y **2 + 2.*(1-mu)/r1 + 2.*mu/r2 - (xdot**2 + ydot**2 + zdot**2)) return C def deriv(X, t): x , y, z, xdot, ydot, zdot = X r1 = np.sqrt((x-x1)**2 + y**2 + z**2) r2 = np.sqrt((x-x2)** 2 + y**2 + z**2) xddot = x + 2*ydot - ((1-mu)/r1**3)*(x+mu) - (mu/r2**3)*(x -(1-mu)) yddot = y - 2*xdot - ((1-mu)/r1**3)*y - (mu/r2**3)*y zddot = - ((1-mu)/ r1**3)*z - (mu/r2**3)*z return np.hstack((xdot, ydot, zdot, xddot, yddot, zddot)) # http://cosweb1.fau.edu/~jmirelesjames /hw4Notes.pdf import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt from scipy.integrate import odeint as ODEint from scipy.optimize import brentq halfpi, pi, twopi = [f*np.pi for f in (0.5, 1, 2) ] mu = 0,001 x1 = -mu x2 = 1. - mu x = np.linspace(-1,4, 1,4, 1201) y = np.linspace(-1,4, 1.4, 1201) Y, X = np.meshgrid(y, x, indexing="ij") Z = np.zeros_like(X) xdot, ydot, zdot = [np.zeros_like(X) for i in range(3) ] C = C_calc(X, Y, Z, xdot, ydot, zdot) C[C>8] = np.nan si Vrai : plt.figure() plt.imshow(C) plt.colorbar() levels = np. arange(2.9, 3.2, 0.04) CS = plt.contour(C, levels, origin="lower", linewidths=2) plt.show() ydot0s = np.linspace(-0.08, 0.08, 20) x0ydot0s = [] pour ydot0 dans ydot0s : x0, infob = brentq(x_acc, -1.5, -0.5, args=(ydot0), xtol=1E-11, rtol=1E-11, maxiter=100, full_output=True, disp=True) x0ydot0s .append((x0, ydot0)) états = [np.array([x0, 0, 0, 0, ydot0, 0]) pour (x0, ydot0) dans x0ydot0s] fois = np.arange (0, 150, 0,01 ) résultats = [] pour X0 dans les états : réponse, info = ODEint(deriv, X0, times, atol = 1E-11, full_output=True) results.append(answer.T.copy()) resultz = [] pour x0ydot0 , chose dans zip(x0ydot0s, résultats): y = chose[1] check = y[2:]*y[1:-1] < 0 zc = np.argmax(y[2:]*y[1:- 1] < 0) + 1 si zc > 10 : resultz.append((chose, zc, x0ydot0)) si Vrai : plt.figu re() hw = 1.6 pour j, (chose, zc, x0ydot0) dans énumérer(resultz): x, y = chose[:2,:zc] plt.plot(x, y) plt.xlim(-hw, hw ) plt.ylim(-hw, hw) plt.plot([x1], [0], 'ok') plt.plot([x2], [0], 'ok') plt.show() si True : plt.figure() pour j, (chose, zc, x0ydot0) dans énumérer(resultz): x, y = chose[:2] plt.plot(times[:zc], y[:zc]) plt.show( ) si Vrai : plt.figure() pour j, (chose, zc, x0ydot0) dans enumerate(resultz) : x0, ydot0 = x0ydot0 cycle_time = 2. * times[zc] / twopi ratio = abs(x0/x2) T_simple_model = twopi * abs(x0/x2)**1.5 T_synodic_simple_model = 1. / (1. - twopi/T_simple_model) # /a/25002/7982 plt.subplot(2, 1, 1) plt.plot(x0, cycle_time, 'ok') plt.plot(x0, abs(T_synodic_simple_model), 'ou') plt .subplot(2, 1, 2) plt.plot(x0, ydot0, 'ok') plt.subplot(2, 1, 1) plt.xlabel('x0', fontsize=16) plt.ylabel('cycle times (points)', fontsize=16) plt.subplot(2, 1, 2) plt.xlabel('x0', fontsize=16) plt.ylabel('ydot0', fontsize=16) plt.show()

Comment calculer la masse de carburant nécessaire pour échapper à la gravité terrestre par rapport à la gravité martienne

J'essaie de déterminer approximativement la quantité de carburant qu'il faudrait pour lancer une fusée bi-propulseur depuis Mars et la Terre de telle sorte qu'elles échappent à la gravité respective de chaque planète. Malheureusement, ma mécanique orbitale est un peu rouillée et la solution que j'obtiens n'a pas beaucoup de sens. Voici ce que j'ai essayé - j'espère que quelqu'un pourra signaler mon erreur :

Hypothèses:
Vitesse de fuite de la Terre (Vesc,e) = 11 200 m/s
Vitesse d'échappement de Mars (Vesc,m) = 5 027 m/s
Gravité de la Terre (ge) = 9,81 m/s2
Gravité de Mars (gm) = 3,71 m/s2
Impulsion spécifique d'une fusée à liquide biergol (Isp) = 450 s
Masse sèche de la fusée (structure + charge utile) = Mdry
Masse de carburant de fusée = Mfuel
Masse humide de la fusée = Mwet

D'accord, en utilisant l'équation de fusée que nous avons

deltaV = Véchappement * ln(Mwet/Mdry) = Véchappement * ln((Mdry + Mfuel)/Mdry)

Par conséquent, deltaV/Vexhaust = ln(Mdry + Mfuel)/Mdry)

Et, e(deltaV/Vexhaust) = e(ln(Mdry + Mfuel)/Mdry)) = (Mdry + Mfuel)/Mdry)

Mdry * e(deltaV/Vexhaust) - Mdry = Mfuel

Par conséquent, Mfuel = Mdry(e(deltaV/Vexhaust) - 1)

Si Véchappement = Isp * g alors Mfuel = Mdry(e(deltaV/Isp*g) - 1)

En supposant que le deltav est égal à la vitesse d'échappement, le carburant nécessaire pour échapper à la gravité terrestre est

Mfuel,terre = Mdry(e(11200/(450*9.81)) - 1) = 5.8965 * Mdry

Mfuel,mars = Mdry(e(5027/(450*3,71)) - 1) = 7,1828 * Mdry

Cela semblerait dire qu'il faut plus de carburant pour échapper à Mars qu'il n'en faut pour échapper à la Terre, ce qui semble complètement incorrect. Quelqu'un peut-il m'indiquer où je me suis trompé ?


Horseshoe Chaos dans un simple circuit memristif

Un modèle de circuit memristif simple est revisité et l'analyse de stabilité doit être donnée. De plus, nous recourons à la section de Poincaré et à la technique de la carte de Poincaré et présentons une vérification assistée par ordinateur rigoureuse du chaos en fer à cheval en vertu de la théorie topologique du fer à cheval.

1. Introduction

Depuis que le laboratoire Hewlett-Packard a publié un article [1] intitulé « The Missing Memristor Found » annonçant l'invention du memristor qui avait été postulée par Chua en 1971 [2], la récente découverte du memristor a suscité une nouvelle vague d'enthousiasme et d'optimisme. en révolutionnant la conception de circuits, marquant une nouvelle ère pour l'avancement des applications neuromorphiques et analogiques. De nombreux modèles memristifs ont été proposés par les chercheurs, tels que le modèle de Bernoulli [3], le modèle cubique [4] et le modèle linéaire par morceaux [5]. En particulier, de nombreux circuits memristifs chaotiques ont été étudiés. Par exemple, Messias et al. ont étudié le modèle de cube chaotique et le modèle linéaire par morceaux par la méthode de bifurcation de Hopf [6], Bao et al. ont trouvé le chaos transitoire et le chaos stable dans le circuit memristif de Chua [7], Corinto et al. ont trouvé la bifurcation hétéroclinique dans le réseau vibratoire memristif [8], et [9] ont discuté du comportement dynamique dans le circuit memristif chaotique. Cependant, le caractère chaotique de ces articles n'a été montré qu'en calculant numériquement les exposants de Lyapunov.

Sur la base de l'application de memristor, Muthuswamy et Chua ont rapporté que l'attracteur chaotique existe pour un circuit autonome qui n'a que trois éléments de circuit dans [10]. De plus, ce circuit simple ne comporte qu'un seul élément localement actif : le memristor. Le modèle dynamique de ce circuit memristif simple de Muthuswamy et Chua est le suivant :

. Les variables d'état en termes de variables de circuit sont

et et est l'état interne du système memristif. Notez que nous ne pouvons calculer un exposant de Lyapunov qu'en un temps fini, ce qui implique que l'exposant de Lyapunov calculé n'est qu'une approximation (probablement mauvaise dans certaines situations) du véritable exposant de Lyapunov. Par conséquent, les arguments rigoureux sur l'existence de l'attracteur chaotique dans le système memristif restent à donner.

Dans cet article, nous passons d'abord en revue un modèle dynamique de circuit memristif simple par Muthuswamy et Chua. Ensuite, nous donnons l'analyse de stabilité du système au moyen de la théorie des variétés centrales. Enfin, nous présentons une vérification rigoureuse de l'existence d'un chaos en fer à cheval en vertu de la théorie topologique des fers à cheval.

2. L'analyse de stabilité

est un point d'équilibre du système (1) pour tout , . Dans cette section, nous étudierons la stabilité de ce point d'équilibre.

En considérant le système linéarisé de (1) au point d'équilibre , on obtient la matrice de coefficients associée :

Les valeurs propres de la matrice sont particulièrement faciles à calculer et sont données par

, est un point fixe hyperbolique. Ainsi, le système a la stabilité triviale c'est-à-dire si

, est asymptotiquement stable, sinon, est instable.

Nous devrions nous concentrer sur la situation où le point d'équilibre est dégénéré, c'est-à-dire . Dans cette situation, la structure de l'orbite à proximité du système (1) n'est pas déterminée par le système linéarisé et est généralement difficile à manipuler. Dans cette section, nous présentons une condition suffisante sous laquelle l'équilibre est instable par le célèbre théorème de la variété centrale [11].

Théorème 1. L'équilibre est instable si et

puis, , , et . Les vecteurs propres, respectivement, correspondant aux valeurs propres , , et sont


Réponses et réponses

Bonjour, je cherche de l'aide s'il vous plait. J'ai du mal à trouver une équation de la terre en orbite autour du soleil. Je n'ai pas besoin d'inclure la masse du soleil et les lois de la gravité, etc. Juste l'équation pour calculer une position en x et y. Est-ce que quelqu'un peut m'aider s'il vous plaît?
Mon idée est de mettre l'orbite à l'intérieur d'un logiciel où j'ai les coordonnées x y et z, le soleil étant sur (0,0) et la terre en orbite autour.

Merci pour ton aide!
Romain.

Si vous voulez juste représenter graphiquement la forme de l'orbite, vous pouvez utiliser
$ r = frac<1+e cosq>$

r est la distance radiale du Soleil
a est le demi-grand axe de l'orbite (rayon orbital moyen)
e est l'excentricité de l'orbite
q est l'angle entre l'objet et le périhélie (approche la plus proche du Soleil)

Cela donnera des résultats en coordonnées polaires que vous pourrez ensuite convertir en coordonnées xy si vous en avez besoin.
Pour la terre : a =

0.017 (si vous avez besoin de valeurs plus précises, vous pouvez les obtenir à partir de l'article Wikipedia pour la Terre.

Si vous cherchez à calculer la position de la Terre au fil du temps, il n'existe pas de méthode d'équation unique pour la déterminer. Il existe des méthodes qui utilisent l'itération, où vous prenez la sortie d'une équation et la remettez dans l'équation en tant que variable, et répétez jusqu'à ce que vous obteniez une précision dans votre réponse avec laquelle vous pouvez vivre. Mais ces méthodes nécessitent l'utilisation d'une mécanique orbitale qui utilise la masse du Soleil et les lois de la gravité.


Conclusion

J'ai pu utiliser des mathématiques et de la physique simples pour reproduire certaines des mesures de performance clés du vaisseau spatial Dawn. Cela m'aide à comprendre comment fonctionne la propulsion ionique et où il serait utile de l'utiliser. Parce qu'il nécessite tellement d'énergie, je peux voir où il serait principalement utile pour les engins spatiaux suffisamment proches du Soleil d'utiliser l'énergie solaire. Une batterie radioactive (souvent utilisée sur les sondes spatiales lointaines) ne fournirait pas une puissance suffisante pour faire fonctionner un moteur ionique – Rayman fait ce commentaire dans son briefing.

La mission Dawn était très intéressante. Je tiens à féliciter Marc Rayman pour les excellents briefings qu'il a présentés tout au long du projet. J'ai aimé suivre leurs découvertes sur Vesta et Ceres.


13.4 Orbites et énergie des satellites

La Lune orbite autour de la Terre. À leur tour, la Terre et les autres planètes orbitent autour du Soleil. L'espace directement au-dessus de notre atmosphère est rempli de satellites artificiels en orbite. Nous examinons la plus simple de ces orbites, l'orbite circulaire, pour comprendre la relation entre la vitesse et la période des planètes et des satellites par rapport à leurs positions et les corps qu'ils orbitent.

Orbites circulaires

Comme indiqué au début de ce chapitre, Nicolaus Copernicus a d'abord suggéré que la Terre et toutes les autres planètes tournent autour du Soleil. Il a en outre noté que les périodes orbitales augmentaient avec la distance du Soleil. Une analyse ultérieure de Kepler a montré que ces orbites sont en fait des ellipses, mais les orbites de la plupart des planètes du système solaire sont presque circulaires. La distance orbitale de la Terre au Soleil ne varie que de 2%. L'exception est l'orbite excentrique de Mercure, dont la distance orbitale varie de près de 40 %.

Déterminer la vitesse orbitale et la période orbitale d'un satellite est beaucoup plus facile pour les orbites circulaires, nous faisons donc cette hypothèse dans la dérivation qui suit. Comme nous l'avons décrit dans la section précédente, un objet avec une énergie totale négative est lié gravitationnellement et est donc en orbite. Notre calcul pour le cas particulier des orbites circulaires le confirmera. Nous nous concentrons sur les objets en orbite autour de la Terre, mais nos résultats peuvent être généralisés à d'autres cas.

Considérons un satellite de masse m en orbite circulaire autour de la Terre à distance r du centre de la Terre (Figure 13.12). Il a une accélération centripète dirigée vers le centre de la Terre. La gravité terrestre est la seule force agissant, donc la deuxième loi de Newton donne

Nous résolvons pour la vitesse de l'orbite, en notant que m annule, pour obtenir la vitesse orbitale

Conformément à ce que nous avons vu dans l'Équation 13.2 et l'Équation 13.6, m n'apparaît pas dans l'équation 13.7. La valeur de g, la vitesse d'échappement et la vitesse orbitale ne dépendent que de la distance du centre de la planète, et ne pas sur la masse de l'objet sur lequel on agit. Notez la similitude dans les équations pour v orbite v orbite et v esc v esc . La vitesse d'échappement est exactement 2 à 2 fois plus grande, environ 40 %, que la vitesse orbitale. Cette comparaison a été notée dans l'exemple 13.7, et elle est vraie pour un satellite à n'importe quel rayon.

Pour trouver la période d'une orbite circulaire, on note que le satellite parcourt la circonférence de l'orbite 2 r 2 π r en une période T. En utilisant la définition de la vitesse, nous avons v orbite = 2 r / T v orbite = 2 π r / T . Nous substituons ceci dans l'équation 13.7 et réorganisons pour obtenir

Nous verrons dans la section suivante que cela représente la troisième loi de Kepler pour le cas des orbites circulaires. Cela confirme également l'observation de Copernic selon laquelle la période d'une planète augmente avec l'augmentation de la distance au Soleil. Nous n'avons qu'à remplacer M E M E par M Sun M Sun dans l'équation 13.8.

Nous concluons cette section en revenant à notre discussion précédente sur les astronautes en orbite semblant être en apesanteur, comme s'ils étaient en chute libre vers la Terre. En fait, ils sont en chute libre. Considérez les trajectoires illustrées à la figure 13.13. (Cette figure est basée sur un dessin de Newton dans son Principia et est également apparu plus tôt dans Motion in Two and Three Dimensions.) Toutes les trajectoires montrées qui frappent la surface de la Terre ont une vitesse orbitale inférieure. Les astronautes accéléreraient vers la Terre le long des chemins non circulaires indiqués et se sentiraient en apesanteur. (Les astronautes s'entraînent en fait à la vie en orbite en montant dans des avions qui tombent en chute libre pendant 30 secondes à la fois.) Mais avec la bonne vitesse orbitale, la surface de la Terre s'éloigne d'eux exactement au même rythme qu'ils tombent vers la Terre. Bien sûr, rester à la même distance de la surface est le point d'une orbite circulaire.

Nous pouvons résumer notre discussion sur les satellites en orbite dans la stratégie de résolution de problèmes suivante.

Stratégie de résolution de problèmes

Orbites et conservation de l'énergie

  1. Déterminez si les équations pour la vitesse, l'énergie ou la période sont valables pour le problème à résoudre. Sinon, commencez par les premiers principes que nous avons utilisés pour dériver ces équations.
  2. Pour partir des premiers principes, tracez un diagramme de corps libre et appliquez la loi de la gravitation de Newton et la deuxième loi de Newton.
  3. En plus des définitions de la vitesse et de l'énergie, appliquez la deuxième loi du mouvement de Newton aux corps d'intérêt.

Exemple 13.9

La Station spatiale internationale

Stratégie

Solution

qui est d'environ 17 000 mph. En utilisant l'équation 13.8, la période est

ce qui est un peu plus de 90 minutes.

Importance

De quel facteur le rayon doit-il changer pour réduire de moitié la vitesse orbitale d'un satellite ? Par quel facteur cela changerait-il la période?

Exemple 13.10

Détermination de la masse de la Terre

Stratégie

Solution

Importance

0,8%), les deux calculs utilisent des valeurs moyennes. La valeur de g varie de l'équateur aux pôles d'environ 0,5%. Mais la Lune a une orbite elliptique dans laquelle la valeur de r varie d'un peu plus de 10 %. (La taille apparente de la pleine Lune varie en fait d'environ cette quantité, mais il est difficile de le remarquer par une observation occasionnelle car le temps d'un extrême à l'autre est de plusieurs mois.)

Il y a une autre considération à ce dernier calcul de M E M E . Nous avons dérivé l'équation 13.8 en supposant que le satellite orbite autour du centre du corps astronomique au même rayon utilisé dans l'expression de la force gravitationnelle entre eux. Quelle hypothèse est faite pour justifier cela ? La Terre est environ 81 fois plus massive que la Lune. La Lune tourne-t-elle autour du centre exact de la Terre ?

Exemple 13.11

Vitesse et période galactiques

Stratégie

Solution

et que l'accélération de chaque galaxie est

Comme les galaxies sont sur une orbite circulaire, elles ont une accélération centripète. Si nous ignorons l'effet des autres galaxies, alors, comme nous l'avons appris dans Moment linéaire et collisions et rotation à axe fixe, les centres de masse des deux galaxies restent fixes. Par conséquent, les galaxies doivent orbiter autour de ce centre de masse commun. Pour des masses égales, le centre de masse est exactement à mi-chemin entre eux. Ainsi, le rayon de l'orbite, r orbite r orbite , n'est pas le même que la distance entre les galaxies, mais la moitié de cette valeur, soit 1,25 million d'années-lumière. Ces deux valeurs différentes sont illustrées à la figure 13.14.

En utilisant l'expression de l'accélération centripète, on a

Importance

En fait, le mouvement relatif actuel de ces deux galaxies est tel qu'elles devraient entrer en collision dans environ 4 milliards d'années. Bien que la densité des étoiles dans chaque galaxie rende improbable une collision directe de deux étoiles, une telle collision aura un effet dramatique sur la forme des galaxies. Des exemples de telles collisions sont bien connus en astronomie.

Les galaxies ne sont pas des objets isolés. Comment la force gravitationnelle d'une galaxie exercée sur les étoiles « plus proches » de l'autre galaxie se compare-t-elle à celles plus éloignées ? Quel effet cela aurait-il sur la forme des galaxies elles-mêmes ?

Interactif

Voir la page Sloan Digital Sky Survey pour plus d'informations sur les collisions de galaxies.

Utilisez cette simulation interactive pour déplacer le Soleil, la Terre, la Lune et la station spatiale pour voir les effets sur leurs forces gravitationnelles et leurs trajectoires orbitales. Visualisez les tailles et les distances entre les différents corps célestes et désactivez la gravité pour voir ce qui se passerait sans elle.

Énergie dans les orbites circulaires

Dans l'énergie potentielle gravitationnelle et l'énergie totale, nous avons soutenu que les objets sont liés gravitationnellement si leur énergie totale est négative. L'argument était basé sur le cas simple où la vitesse était directement éloignée ou vers la planète. Nous examinons maintenant l'énergie totale pour une orbite circulaire et montrons qu'en effet, l'énergie totale est négative. Comme nous l'avons fait précédemment, nous commençons par la deuxième loi de Newton appliquée à une orbite circulaire,

Dans la dernière étape, nous avons multiplié par r de chaque côté. Le côté droit est juste deux fois l'énergie cinétique, donc nous avons

L'énergie totale est la somme des énergies cinétique et potentielle, donc notre résultat final est

Nous pouvons voir que l'énergie totale est négative, avec la même amplitude que l'énergie cinétique. Pour les orbites circulaires, l'amplitude de l'énergie cinétique est exactement la moitié de l'amplitude de l'énergie potentielle. Remarquablement, ce résultat s'applique à deux masses quelconques sur des orbites circulaires autour de leur centre de masse commun, à une distance r de chacun d'eux. La preuve en est laissée en exercice. Nous verrons dans la section suivante qu'une expression très similaire s'applique dans le cas des orbites elliptiques.

Exemple 13.12

Énergie requise pour orbiter

Stratégie

Solution

L'énergie totale à la surface de la Terre est

La deuxième approche consiste à utiliser l'équation 13.7 pour trouver la vitesse orbitale du Soyouz, ce que nous avons fait pour l'ISS dans l'exemple 13.9.

Ainsi, l'énergie cinétique du Soyouz en orbite est

le même que dans la méthode précédente. L'énergie totale est juste

Importance

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    • Auteurs : William Moebs, Samuel J. Ling, Jeff Sanny
    • Éditeur/site Web : OpenStax
    • Titre du livre : University Physics Volume 1
    • Date de parution : 19 sept. 2016
    • Lieu : Houston, Texas
    • URL du livre : https://openstax.org/books/university-physics-volume-1/pages/1-introduction
    • URL de la section : https://openstax.org/books/university-physics-volume-1/pages/13-4-satellite-orbits-and-energy

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    Chaos en fer à cheval dans un simple circuit memristif.

    Depuis que le laboratoire Hewlett-Packard a publié un article [1] intitulé "The Missing Memristor Found" annonçant l'invention du memristor qui avait été postulée par Chua en 1971 [2], la récente découverte du memristor a suscité une nouvelle vague d'enthousiasme et d'optimisme. en révolutionnant la conception de circuits, marquant une nouvelle ère pour l'avancement des applications neuromorphiques et analogiques. De nombreux modèles memristifs ont été proposés par les chercheurs, tels que le modèle de Bernoulli [3], le modèle cubique [4] et le modèle linéaire par morceaux [5]. En particulier, de nombreux circuits memristifs chaotiques ont été étudiés. Par exemple, Messias et al. ont étudié le modèle de cube chaotique et le modèle linéaire par morceaux par la méthode de bifurcation de Hopf [6], Bao et al. ont trouvé le chaos transitoire et le chaos stable dans le circuit memristif de Chua [7], Corinto et al. ont trouvé la bifurcation hétéroclinique dans le réseau vibratoire memristif [8], et [9] ont discuté du comportement dynamique dans le circuit memristif chaotique. Cependant, le caractère chaotique de ces articles n'a été montré qu'en calculant numériquement les exposants de Lyapunov.

    Sur la base de l'application de memristor, Muthuswamy et Chua ont rapporté que l'attracteur chaotique existe pour un circuit autonome qui n'a que trois éléments de circuit dans [10]. De plus, ce circuit simple ne comporte qu'un seul élément localement actif : le memristor. Le modèle dynamique de ce circuit memristif simple de Muthuswamy et Chua est le suivant :

    [EXPRESSION MATHÉMATIQUE NON REPRODUCTIBLE EN ASCII] (1)

    Les valeurs des paramètres sont [alpha] [membre de] R et [beta] [membre de] R - <0>. The state variables in terms of circuit variables are x(t) and y(t) and z(t) is the internal state of the memristive system. Note that we can calculate a Lyapunov exponent only in finite amount of time, and this implies that the Lyapunov exponent calculated is just an (probably bad in some situations) approximation of the true Lyapunov exponent. Therefore, the rigorous arguments on existence of chaotic attractor in the memristive system remain to be given.

    In this paper, first we review a simple memristive circuit dynamical model by Muthuswamy and Chua. Then we give the stability analysis of the system by means of center manifold theory. Finally, we present rigorous verification of existence of horseshoe chaos by virtue of topological horseshoes theory.

    It is easy to see that O(0, 0, 0) is an equilibrium point of system (1) for any [alpha] [member of] R, [beta] [member of] R - <0>. In this section, we will study the stability of this equilibrium point.

    Considering the linearized system of (1) in the equilibrium point O(0, 0, 0), we obtain the associated coefficient matrix:

    [MATHEMATICAL EXPRESSION NOT REPRODUCIBLE IN ASCII] (2)

    The eigenvalues of the matrix are particularly easy to compute and are given by

    -[alpha], 1/6[beta] [+ or -] 1/2 [square root of 1/9 [[beta].sub.2] -4/3]. (3)

    Obviously, if [alpha][beta] [not equal to] 0, O is a hyperbolic fixed point. Thus, the System has the trivial stability that is to say if [alpha] > 0 and [beta] < 0, O is asymptotically stable, otherwise, is unstable.

    We should focus on the situation when the equilibrium point O is degenerated that is, [alpha] = 0. In this situation, the orbit structure near O of system (1) is not determined by linearized system and is generally difficult to handle. In this section, we present a sufficient condition under which equilibrium O is unstable by the famous center manifold theorem [11].

    Theorem 1. The equilibrium O(0, 0, 0) is unstable if [alpha] = 0 and [beta] < -2[square root of 3].

    Preuve. Let [[lambda].sub.1,2] = (1/6)[beta] [+ or -] (1/2) [square root of (1/9)[[beta].sup.2] - 4/3 then, [[lambda].sub.1] + [[lambda].sub.2] = [beta]/3, [[lambda].sub.1] [[lambda].sub.2] = 1/3, and [[lambda].sub.1], [[lambda].sub.2][member of] R. The eigenvectors, respectively, corresponding to eigenvalues 0, [[lambda].sub.1], and [[lambda].sub.2] are

    [(0, 0, 1).sup.T], [(1, [[lambda].sub.1], -1).sup.T], [(1, [[lambda].sub.2], -1).sup.T]. (4)

    Let [MATHEMATICAL EXPRESSION NOT REPRODUCIBLE IN ASCII]. We obtain coordinate transformation [MATHEMATICAL EXPRESSION NOT REPRODUCIBLE IN ASCII] which transforms system (1) into

    [MATHEMATICAL EXPRESSION NOT REPRODUCIBLE IN ASCII], (5)

    where [MATHEMATICAL EXPRESSION NOT REPRODUCIBLE IN ASCII]. Thus, from the famous center manifold theory, the stability of O(0, 0, 0) can be determined by ordinary differential equations on a center manifold, which can be expressed as the following series formulas:

    V = [h.sub.1] (u) = [a.sub.1][u.sup.2] + a.sub.2][u.sup.3] + [a.sub.3][u.sup.4] + O([u.sup.4]),

    w = [h.sub.2] (u) = [b.sub.1][u.sup.2] + [b.sub.2][u.sup.3] + [b.sub.3][u.sup.4] + O([u.sup.4]). (6)

    By the invariance of center manifold under the flow of system (5) and the method of undetermined coefficients, after detailed derivation, we obtain

    [a.sub.1] = [b.sub.1] = [a.sub.3] = [b.sub.3] = 0, -[[lambda].sub.1]a.sub.2] + [[c.sub.1][beta].3] = 0, -[[lambda].sub.2] [b.sub.2] -[[c.sub.1] [beta]/3] = 0. (7)

    [MATHEMATICAL EXPRESSION NOT REPRODUCIBLE IN ASCII] (8)

    Finally, substituting (8) into the first row equation of (5), we obtain the equation reduced to the center manifold

    [MATHEMATICAL EXPRESSION NOT REPRODUCIBLE IN ASCII] (9)

    Since -[MATHEMATICAL EXPRESSION NOT REPRODUCIBLE IN ASCII] is an unstable equilibrium point of (9). Thus, O is unstable by center manifold theory. This completes the proof.

    3. Chaos Attractor and Horseshoe Chaos

    As we known, stability can only show the local dynamic behaviors near equilibrium point. To indicate the global characters of the system (1), chaos attractor and horseshoe chaos will be shown by means of computer-assisted calculation and topological horseshoe theory.

    In [10], it has been numerically observed that system (1) can exhibit chaos by the calculated Lyapunov exponents for some parameters. However, note that the Lyapunov exponent we calculated is just an approximation of the true Lyapunov exponent. Therefore, we have to be cautious about the statements (especially about the chaos) based on the calculated Lyapunov exponents. To confirm the chaos indicated by calculated positive Lyapunov exponents, we should make use of more rigorous mathematical tools.

    The topological horseshoe theory, based on the geometric relationship of map restricted to some subsets of interest in state space, provides a powerful tool in many rigorous studies of chaos, such as verifying existence of chaos, estimating topological entropy, and revealing mechanism of chaotic attractors. In the following subsections, we first recall a the oremon topological horseshoes and then present rigorous verification of chaoticity of system (1) with [alpha] = 0.6 and [beta] = 1.5.

    3.1. A Horseshoe Theorem. Let X be a metric space, D a compact subset of X, and f : D [right arrow] X a map satisfying the assumption that there exist m mutually disjoint compact subsets [D.sub.1], [D.sub.2], . [D.sub.m] of D such that the restriction of f to each [D.sub.i], that is, f | [D.sub.i], is continuous.

    Definition 2 (see [12]). Let [gamma] be a compact connected subset of D, such that, for each 1 [less than or equal to] i [less than or equal to] m, [[gamma].sub.i] = [gamma] [intersection][D.sub.i] is nonempty then, [gamma] is called a connection with respect to [D.sub.1], . [D.sub.m-1] and [D.sub.m].

    Let f be a family of connection [gamma]s with respect to [D.sub.1], . [D.sub.m-1] and [D.sub.m] satisfying the following property:

    [gamma] [member of] f [??] f([r.sub.i]) [member of] f. (10)

    Then f is said to be a f-connected family with respect to [D.sub.1], . [D.sub.m-1] and [D.sub.m].

    Lemma 3 (topological horseshoe lemma see [12]). Suppose that there exists a f-connected family f with respect to [D.sub.1], . [D.sub.m-1] and [D.sub.m]. Then there exists a compact invariant set K [subset] D, such that f | K is semiconjugate to m-shift dynamics therefore, its topological entropy satisfies ent (f) [greater than or equal to] log m.

    Remark 4. The m-shift dynamics is also called Bernoulli m-shift map defined on metric series space [[SIGMA].sub.m] which is all collection of all bi-infinite sequences (. [s.sub.-n], . [s.sub.-1,], [s.sub.0], [s.sub.1], . [s.sub.n], . ) with [s.sub.i] [member of <0, 1, . m - 1>. The distance between s, [bar.s] [member of] [[SIGMA].sub.m] is defined as d(s, [bar.s]) = [[SIGMA].sup.[infinity]- [infinity]]([1/2.sup.[absolute value of i]]) x ([absolute value of [s.sub.i] -[[bar.s].sub.i]]/(1 + [absolute value of [s.sub.i] - [[bar.s.sub.i]])). Then, the m-shift map is defined as

    [sigma]: [[SIGMA].sub.m] [right arrow] [[SIGMA].sub.m], [sigma][(s).sub.i] = [s.sub.i+1]. (11)

    It is well known that [[SIGMA].sub.m] is a Cantor set, which is compact, totally disconnected, and perfect. As a dynamical system defined on [[SIGMA].sub.m], [sigma] has a countable infinity of periodic orbits that consist of orbits of all periods, an uncountable infinity of a periodic orbits, and a dense orbit. A direct consequence of these three properties is that the dynamics generated by the shift map is sensitive to initial conditions .Mathematically, the topological entropy ent (f) measures its complexity, which roughly means the exponential growth rate of the number of distinguishable orbits as time advances. When m > 1, ent (f) > 0 implies that the system is chaotic.

    For more details of the above symbolic dynamics and horseshoe lemma, we refer the reader to [11-13].

    3.2. Horseshoe in the Simple Memristive Circuit. A number of chaotic attractors have been found when we use the global computer-assisted searching in memristive dynamical model (1). Now we will consider a typical parameters set: [alpha] = 0.6 and [beta] = 1.5 that is, the following system is as follows:

    [MATHEMATICAL EXPRESSION NOT REPRODUCIBLE IN ASCII] (12)

    A chaotic attractor of system (12) obtained by computer simulation is illustrated in the following Figure 1.

    To find horseshoe, an efficient way is to construct an appropriate cross-section on which one can define a Poincare map. After many attempts, we choose cross-section M as follows (see Figure 1):

    and define the second return Poincare Map P : M [right arrow] M with the following rule: for each p [member of] M, P(p) is the second return intersection point with M under the flow with initial condition p. Note that, for simplicity, in the following paper, we omit the y-coordinate 0 for all points and sectors in plane M and consider P as a two-dimensional mapping with two variables x and z.

    Now, in plane M, we take the two quadrangles[H.sub.1] and[H.sub.2] with their four vertices being

    (-1.7011, 0.3815), (-1.35, 0.323626373626374), (-1.7011, 0.3065), (-1.35, 0, 0.248626373626374), (14)

    (-1.307, 0.316538461538462), (-0.6, 0.2), (-1.307, 0.241538461538462), (-0.6, 0.125), (15)

    [H.sub.1], [H.sub.2] and their images [D.sub.1] = P([H.sub.1]), [D.sub.2] = P([H.sub.2]) are shown in Figures 2(a) and 2(b).

    Theorem 5. For the second return Poincare Map P : M [right arrow] M, there exists a compact invariant set[LAMBDA] [subset] [H.sub.1][union][H.sub.2] such that P | [LAMBDA] is semiconjugate to the 2-shift map and the topological entropy ent (P) [greater than or equal to] log 2.

    Remark 6. By calculation, we know that the linearized system of (12) possesses three eigenvalues -0.6, -(1/4)[+ or -][square root of (13/48)]i at the equilibrium point (0, 0, 0). This implies that the equilibrium point is a Saddle-Focus. Therefore, it seems that we can apply the famous Si'lnikov criteria to verify the chaoticity of system (12). However, as we all know, it is extremely difficult to verify another nonignorable condition of chaos in sense of Si'lnikov criteria that is, system (12) possesses a homoclinic orbit connecting (0, 0, 0) to itself.

    Remark 7. The chaoticity of systems (1) with other proper parameters should be able to be verified by the similar methods by means of topological horseshoe theory. However, we need to try many times to find applicable cross-section, Poincare map, and two disjoint compact subsets for every different parameter, which is the hardest task in this paper.

    Preuve. Let [H.sub.3] be the quadrilateral formed by the four endpoints of line segments [H.sup.2.sub.1], [H.sup.1.sub.2], and H = [H.sub.1][union] [H.sub.2][union] [H.sub.3] as shown in Figure 3. To prove this theorem, the key is to find a proper P-connected family f.

    By Figure 2(a), it is obvious that [D.sub.1] = P([H.sub.1]) goes across H with P([H.sup.1.sub.1) and P([H.sup.2.sub.1]) being outside of H. In addition to this,

    P ([H.sub.1]) [intersection] [partial derivative][H.sub.i][subset] ([H.sup.1.sub.1]i[union][H.sup.2.sub.i]), i = 1, 2. (16)

    After the similar analysis to Figure 2(b), we know that [D.sub.2] =P([H.sub.2]) goes across H with P([H.sup.1.sub.2]) and P([H.sup.2/sub.2]) being outside of H. Moreover, we have

    P ([H.sub.2]) [intersection] [partial derivative][H.sub.i][subset] ([H.sup.1.sub.i][union][H.sup.2.sub.i]), i = 1, 2. (17)

    Now, let f be a family of connection [gamma]s such that, for each [gamma] [member of] f, [gamma] is a path crossing H with [gamma] [intersection] [H.sup.j.sub.i] [not equal to] 0 (i, j = 1, 2) as shown in Figure 3. Let [[gamma].sub.i] = [gamma] [intersection] Hi. According to above discussions, it is obvious that P([[gamma].sub.i]) [member of] f (i = 1, 2).Therefore, F is a P-connected family with respect to [H.sub.1] and [H.sub.2]. By topological horseshoe lemma (see Lemma 3), there exists a compact invariant set [LAMBDA] [subset] [H.sub.1][union] [H.sub.2], such that P | [LAMBDA] is semiconjugate to 2-shift map and its topological entropy satisfies ent(P) [greater than or equal to] log 2. Theorem 5 holds.

    In this paper, we revisit this simple memristive circuit proposed by Muthuswamy and Chua. The stability study is shown by use of center manifold theory and we obtain a sufficient condition under which the equilibrium point is unstable. Furthermore, we present rigorous computer-assisted chaoticity verification by means of topological horseshoe theory.

    The authors declare that there is no conflict of interests regarding the publication of this paper.

    This work is supported in part by the National Natural Science Foundation of China (11302080), China Postdoctoral Science Foundation (2013M530343) and Key Construction Disciplines Foundation of Hefei University (2014xk08).

    [1] D. B. Strukov, G. S. Snider, D. R. Stewart, and R. S. Williams, "The missing memristor found," Nature, vol. 453, pp. 80-83, 2008.

    [2] L. O. Chua, "Memristor--the missing circuit element," IEEE Transactions on Circuits Theory, vol 18, no. 5, pp. 507-519,1971.

    [3] E. M. Drakakis, S. N. Yaliraki, and M. Barahona, "Memristors and Bernoulli dynamics," in Proceedings of the 12th International Workshop on Cellular Nanoscale Networks and Their Applications (CNNA '10), pp. 1-6, IEEE, February 2010.

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    [6] M. Messias, C. Nespoli, and V. A. Botta, "Hopf bifurcation from lines of equilibria without parameters in memristor oscillators," International Journal of Bifurcation and Chaos in Applied Sciences and Engineering, vol. 20, no. 2, pp. 437-450, 2010.

    [7] B.-C. Bao, Z. Liu, and J.-P. Xu, "Transient chaos in smooth memristor oscillator," Chinese Physics B, vol. 19, no. 3, Article ID 030510, 2010.

    [8] F. Corinto, A. Ascoli, and M. Gilli, "Heteroclinic bifurcation in memristor oscillators," in Proceedings of the 20th European Conference on Circuit Theory and Design (ECCTD '11), pp. 238-241, August 2011.

    [9] T. Driscoll, Y. V. Pershin, D. N. Basov, and M. Di Ventra, "Chaotic memristor," Applied Physics A, vol. 102, no. 4, pp. 885-889, 2011.

    [10] B. Muthuswamy and L. O. Chua, "Simplest chaotic circuit," International Journal of Bifurcation and Chaos, vol. 20, no. 5, pp. 1567-1580, 2010.

    [11] S. Wiggins, Introduction to Applied Nonlinear Dynamical Systems and Chaos, Springer, 2nd edition, 2003.

    [12] X.-S. Yang, "Topological horseshoes and computer assisted verification of chaotic dynamics," International Journal of Bifurcation and Chaos, vol. 19, no. 4, pp. 1127-1145, 2009.

    [13] Q. Li and X.-S. Yang, "A simple method for finding topological horseshoes," International Journal of Bifurcation and Chaos, vol. 20, no. 2, pp. 467-478, 2010.

    Lei Wang, (1,2) XiaoSong Yang, (1) WenJie Hu, (1) and Quan Yuan (1)

    (1) School of Mathematics and Statistics, Huazhong University of Science and Technology, Wuhan 430074, China

    (2) Department of Mathematics and Physics, Hefei University, Hefei 230601, China

    Correspondence should be addressed to Quan Yuan [email protected]

    Received 16 June 2014 Accepted 23 October 2014 Published 16 November 2014


    What Is a Control Variable? Definition and Examples

    A control variable is any factor that is controlled or held constant during an experiment. For this reason, it’s also known as a controlled variable or a constant variable. A single experiment may contain many control variables. Unlike the independent and dependent variables, control variables aren’t a part of the experiment, but they are important because they could affect the outcome. Take a look at the difference between a control variable and control group and see examples of control variables.

    Importance of Control Variables

    Remember, the independent variable is the one you change, the dependent variable is the one you measure in response to this change, and the control variables are any other factors you control or hold constant so that they can’t influence the experiment. Control variables are important because:

    • They make it easier to reproduce the experiment.
    • The increase confidence in the outcome of the experiment.

    For example, if you conducted an experiment examining the effect of the color of light on plant growth, but you didn’t control temperature, it might affect the outcome. One light source might be hotter than the other, affecting plant growth. This could lead you to incorrectly accept or reject your hypothesis. As another example, say you did control the temperature. If you did not report this temperature in your “methods” section, another researcher might have trouble reproducing your results. What if you conducted your experiment at 15 °C. Would you expect the same results at 5 °C or 35 5 °C? Sometimes the potential effect of a control variable can lead to a new experiment!

    Sometimes you think you have controlled everything except the independent variable, but still get strange results. This could be due to what is called a “confounding variable.” Examples of confounding variables could be humidity, magnetism, and vibration. Sometimes you can identify a confounding variable and turn it into a control variable. Other times, confounding variables cannot be detected or controlled.

    Control Variable vs Control Group

    A control group is different from a control variable. You expose a control group to all the same conditions as the experimental group, except you change the independent variable in the experimental group. Both the control group and experimental group should have the same control variables.

    Control Variable Examples

    Anything you can measure or control that is not the independent variable or dependent variable has potential to be a control variable. Examples of common control variables include:

    • Duration of the experiment
    • Size and composition of containers
    • Température
    • Humidity
    • Sample volume
    • Pressure
    • Experimental technique
    • Chemical purity or manufacturer
    • Species (in biological experiments)

    For example, consider an experiment testing whether a certain supplement affects cattle weight gain. The independent variable is the supplement, while the dependent variable is cattle weight. A typical control group would consist of cattle not given the supplement, while the cattle in the experimental group would receive the supplement. Examples of control variables in this experiment could include the age of the cattle, their breed, whether they are male or female, the amount of supplement, the way the supplement is administered, how often the supplement is administered, the type of feed given to the cattle, the temperature, the water supply, the time of year, and the method used to record weight. There may be other control variables, too. Sometimes you can’t actually control a control variable, but conditions should be the same for both the control and experimental groups. For example, if the cattle are free-range, weather might change from day to day, but both groups would have the same experience. When you take data, be sure to record control variables along with the independent and dependent variable.


    A point mass hanging on a massless string is an idealized example of a simple pendulum. When displaced from its equilibrium point, the restoring force which brings it back to the center is given by:

    For small angles θ, we can use the approximation

    in which case Newton's 2nd law takes the form

    Even in this approximate case, the solution of the equation uses calculus and differential equations. The differential equation is

    and for small angles θ the solution is:


    Redshifts

    Train whistles sound lower pitched as they recede, due to the moving source of the sound waves. C'est ce qu'on appelle le Doppler shift. Light waves from a galaxy that is moving away also appear longer in wavelength, lower in frequency, and therefore redder in color. This effect is called the redshift, and it provides a way for us to measure distances to galaxies.

    In Stephan's Quintet, a cluster of galaxies in Pegasus, it is easy to see that one galaxy is not moving away as quickly as the others.


    Once Edwin Hubble had identified Cepheid variables in Andromeda galaxy, he could use the Period-Luminosity Relationship, discovered by Henrietta Levitt, to find the brightnesses of the stars. With that, and the inverse square law, he could measure the distance to the Andromeda galaxy, and to other galaxies in which Cepheid variables occurred.

    Hubble noticed a pattern in this new data. He noticed the greater the distance of the galaxy, the greater its redshift. Almost all the galaxies he measured appeared to be moving away from us, and the greater the distance of the galaxy, the faster it was going. His original measurements have been replaced by others of more accuracy, and extended out much farther. The relationship he discovered is called the Hubble Law.

    Cepheid variables are not bright enough to use for distance measurements much beyond the 60 million light years of the Virgo Cluster. The Type Ia supernovae are so much brighter that we can see them billions of light years away. The Hubble Law holds, even at these distances even looking back billions of years into the past, it was found that the distance of a galaxy is proportional to its redshift.

    Now the redshift could provide the distance to any galaxy. The more distant the galaxy the greater the redshift. Distance could be measured in redshifts. A cluster of galaxies with an average redshift z = 0.01 means the galaxies are moving away at about 0.01th the speed of light. If it is has a redshift z = 0.02 it is moving away at twice that speed, and is twice as far away.

    Astronomers measure the wavelength of light by analyzing the spectrum of a star or even an entire galaxy. When we look at a distant receding galaxy we see all the wavelengths of its spectral features increased by the same factor, 1+z. When z is small it is approximately v/c where "v" is the speed of the galaxy moving away, and "c" is the speed of light. However, matter cannot travel travel faster than the speed of light, and at larger z the speeds just get closer and closer to "c". We will look at how this works in more detail in a later unit when we explore the effects of relativity. For now, remember that the most distant galaxies appear to recede from us at nearly the speed of light, and that the more distant they are, the more its spectral features are reddened, shifted to longer and longer wavelengths.

    Not only could distances be measured, but since all distant galaxies are receding from us, and the more distant a galaxy, the faster the galaxy it goes, it appears that the universe is expanding!

    Not only that, but if you follow their paths backwards, it seems that all galaxies would at some time have been in the same place, beginning at a singular event that we call the Big Bang!

    By the end of next week you will be able easily to measure the size of the visible Universe, and to follow the of galaxies backwards in time to the beginning of the universe.

    In all of human history only a few of the greatest thinkers have been able to do this, but you will find it easy!

    Can you tell which galaxies are more distant? (Note exceptions: elliptical galaxies are redder by nature, and galaxies come in a range of sizes and types.)